天津高考数学解答题专项训练

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、函数与导数（本题满分14分）

1. 已知函数 $f(x) = \ln x - ax + 1$，其中 $a \in \mathbb{R}$。

（Ⅰ）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

（Ⅱ）若函数 $f(x)$ 有两个零点 $x_1$， $x_2$ $(x_1 < x_2)$，求证：$x_1 x_2 > e^2$。

答：

（Ⅰ）________________________________________________________________________________

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（Ⅱ）________________________________________________________________________________

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二、三角函数与解三角形（本题满分15分）

2. 在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，已知 $2a - c = 2b \cos C$。

（Ⅰ）求角 $B$ 的大小；

（Ⅱ）若 $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2$，且 $b = 2\sqrt{3}$，求 $\triangle ABC$ 的面积。

答：

（Ⅰ）________________________________________________________________________________

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（Ⅱ）________________________________________________________________________________

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三、数列（本题满分15分）

3. 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1 = 1$， $S_{n+1} = 4a_n + 2$。

（Ⅰ）求证：数列 $\{a_{n+1} - 2a_n\}$ 是等比数列；

（Ⅱ）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（Ⅲ）设 $b_n = \frac{a_n}{2^n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$。

答：

（Ⅰ）________________________________________________________________________________

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（Ⅱ）________________________________________________________________________________

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（Ⅲ）________________________________________________________________________________

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四、立体几何（本题满分15分）

4. 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是边长为2的菱形，$\angle BAD = 60^\circ$，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = 2$，$E$ 为 $PC$ 的中点。

（Ⅰ）求证：平面 $BDE \perp$ 平面 $ABCD$；

（Ⅱ）求直线 $PA$ 与平面 $BDE$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）求三棱锥 $E-BCD$ 的体积。

（注：本题不依赖图示信息，所有几何关系已用文字描述清楚。）

答：

（Ⅰ）________________________________________________________________________________

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（Ⅱ）________________________________________________________________________________

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（Ⅲ）________________________________________________________________________________

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五、解析几何（本题满分15分）

5. 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，且过点 $P(1, \frac{3}{2})$。

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的标准方程；

（Ⅱ）设过点 $M(1, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于