七年级下学期人教版数学期末考试测试题

（满分：120分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 请用黑色签字笔作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用签字笔描黑。

3. 保持卷面整洁，书写工整。在草稿纸、试卷上答题无效。

4. 考试结束后，请将本试卷和草稿纸一并交回。

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1. 下列四个实数中，是无理数的是（______）

A. $\frac{22}{7}$    B. $\sqrt{9}$    C. $3.1415926$    D. $\pi$

2. 如图，直线 $a$，$b$ 被直线 $c$ 所截，下列条件中，不能判定 $a \parallel b$ 的是（______）

A. $\angle 2 = \angle 5$    B. $\angle 3 = \angle 6$    C. $\angle 1 = \angle 4$    D. $\angle 1 + \angle 6 = 180^\circ$

3. 在平面直角坐标系中，点 $P(-3, 4)$ 到 $x$ 轴的距离是（______）

A. $3$    B. $-3$    C. $4$    D. $-4$

4. 已知 $\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$ 是二元一次方程 $kx - y = 3$ 的一个解，则 $k$ 的值为（______）

A. $1$    B. $2$    C. $3$    D. $4$

5. 不等式 $2x - 5 \le 1$ 的解集在数轴上表示正确的是（______）

A. （数轴上表示 $x \le 3$，实心点向左）    B. （数轴上表示 $x \le 3$，空心点向左）

C. （数轴上表示 $x \ge 3$，实心点向右）    D. （数轴上表示 $x \ge 3$，空心点向右）

6. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（______）

A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查某城市居民的垃圾分类意识

C. 调查某班学生的身高情况 D. 调查央视“新闻联播”的收视率

7. 已知 $a < b$，则下列不等式一定成立的是（______）

A. $a + 2 > b + 2$    B. $-2a < -2b$    C. $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$    D. $a - 1 < b - 1$

8. 一个正数的两个平方根分别是 $2a-1$ 和 $-a+2$，则这个正数是（______）

A. $3$    B. $9$    C. $1$    D. $\sqrt{3}$

9. 将点 $A(2, -1)$ 向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点 $A'$，则点 $A'$ 的坐标是（______）

A. $(-1, 3)$ B. $(5, 3)$ C. $(-1, -5)$ D. $(5, -5)$

10. 方程组 $\begin{cases} 2x + y = ■ \\ x + y = 3 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x = 2 \\ y = ▲ \end{cases}$，则被遮盖的两个数 ■、▲ 分别为（______）

A. $5, 1$    B. $1, 3$    C. $2, 3$    D. $4, 2$

11. 某校为了解七年级800名学生的视力情况，从中随机抽取了80名学生进行检测。下列说法正确的是（______）

A. 800名学生是总体 B. 样本容量是80名学生的视力

C. 每名学生的视力是个体 D. 抽取的80名学生是总体的一个样本

12. 在平面直角坐标系中，对于点 $P(x, y)$，我们把点 $P'(-y+1, x+1)$ 叫做点 $P$ 的伴随点。已知点 $A_1$ 的伴随点为 $A_2$，点 $A_2$ 的伴随点为 $A_3$，点 $A_3$ 的伴随点为 $A_4$，…，这样依次得到点 $A_1, A_2, A_3, …, A_n$。若点 $A_1$ 的坐标为 $(2, 4)$，则点 $A_{2024}$ 的坐标为（______）

A. $(2, 4)$    B. $(-3, 3)$    C. $(-2, -2)$    D. $(3, -1)$

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

三、计算题（共2小题，每小题5分，共10分）

19. 解方程组： $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases}$

20. 解不等式组 $\begin{cases} 2(x+1) > x \\ \frac{1-2x}{3} \ge x - 2 \end{cases}$ 并把它的解集在数轴上表示出来。

四、解答题（共3小题，每小题6分，共18分）

21. 完成下面的证明过程：

如图，已知 $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$，$\angle 3 = \angle B$。求证：$\angle AED = \angle ACB$。

证明：∵ $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$（已知），

$\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$（______），

∴ $\angle 2 = \angle 4$（______）。

∴ $AB \parallel$ ______ （同位角相等，两直线平行）。

∴ $\angle 3 = \angle 5$（______）。

又∵ $\angle 3 = \angle B$（已知），

∴ $\angle 5 = \angle B$（等量代换）。

∴ $DE \parallel BC$（______）。

∴ $\angle AED = \angle ACB$（______）。

22. 已知 $2a-1$ 的平方根是 $\pm 3$，$3a+b-1$ 的算术平方根是 $4$，求 $a+2b$ 的立方根。

23. 某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机抽取了部分学生进行调查（每人只能选一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题：

（1）这次被调查的学生共有 ______ 人；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校共有2000名学生，请你估计最喜欢“足球”的学生人数。

（注：统计图描述：扇形图中，篮球占30%，足球占20%，乒乓球占？，其他占15%；条形图中，篮球人数为36，足球人数为？，乒乓球人数为24，其他人数为18。）

五、应用题（共2小题，每小题8分，共16分）

24. 某文具店销售甲、乙两种钢笔，甲种钢笔每支进价8元，售价12元；乙种钢笔每支进价10元，售价15元。学校计划用不超过380元购买这两种钢笔共40支，且甲种钢笔的数量少于乙种钢笔数量的 $\frac{2}{3}$。问有几种购买方案？并计算哪种方案利润最大，最大利润是多少？

25. 《九章算术》中有这样一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？”题目大意是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱。问有多少人，物品的价格是多少钱？请解答这个问题。

六、综合题（共2小题，每小题11分，共22分）

26. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，对于点 $P(x, y)$，若点 $Q$ 的坐标为 $(x+ky, kx+y)$（其中 $k$ 为常数），则称点 $Q$ 是点 $P$ 的“$k$ 级关联点”。例如，点 $P(1, 4)$ 的“$2$ 级关联点”为 $Q(1+2\times4, 2\times1+4)$，即 $Q(9, 6)$。

（1）若点 $A(2, -1)$ 的“$3$ 级关联点”是点 $B$，求点 $B$ 的坐标；

（2）若点 $M(m-1, 2m)$ 的“$-2$ 级关联点”$N$ 位于 $y$ 轴上，求点 $N$ 的坐标；

（3）已知点 $C(1, -2)$，点 $D$ 是点 $C$ 的“$k$ 级关联点”。点 $D$ 位于第二象限，且到 $x$ 轴、$y$ 轴的距离相等，求 $k$ 的值。

27. 已知直线 $l_1 \parallel l_2$，点 $A$，$C$ 在 $l_1$ 上，点 $B$，$D$ 在 $l_2$ 上，连接 $AB$，$CD$，$BC$，$BD$。

（1）如图1，点 $P$ 在 $l_1$，$l_2$ 之间时，求证：$\angle APC = \angle A + \angle C$；

（2）如图2，点 $P$ 在 $l_1$ 上方时，试探究 $\angle APC$，$\angle A$，$\angle C$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，在（2）的条件下，$BC$ 平分 $\angle PBD$，$\angle A = 60^\circ$，$\angle PCB = \frac{1}{2} \angle PCD$，求 $\angle P$ 的度数。

（注：三个图形均为平行线间有折线的基本图形，文字描述其结构。）

参考答案及评分标准

一、选择题（每题3分，共36分）

1. D 2. C 3. C 4. B 5. A 6. C 7. D 8. B 9. A 10. A 11. C 12. B

二、填空题（每题3分，共18分）

13. $2$    14. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。    15. $2$

16. $-1 \le a < 0$ （或 $-1 \le a < 0$）    17. $60$    18. $(8, 0)$ 或 $(0, 0)$ （写对一个得2分，全对得3分）

三、计算题（每题5分，共10分）

19. 解：$\begin{cases} 2x - y = 5 & \text{①} \\ 3x + 4y = 2 & \text{②} \end{cases}$

由①得：$y = 2x - 5$ …③ …………（1分）

将③代入②得：$3x + 4(2x - 5) = 2$

$3x + 8x - 20 = 2$

$11x = 22$

$x = 2$ …………（3分）

将 $x = 2$ 代入③得：$y = 2 \times 2 - 5 = -1$ …………（4分）

∴ 原方程组的解为 $\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$ …………（5分）

20. 解：解不等式①：$2x + 2 > x$，得 $x > -2$。 …………（1分）

解不等式②：$1 - 2x \ge 3(x - 2)$，即 $1 - 2x \ge 3x - 6$，

$-2x - 3x \ge -6 - 1$，

$-5x \ge -7$，

$x \le \frac{7}{5}$。 …………（3分）

∴ 不等式组的解集为 $-2 < x \le \frac{7}{5}$。 …………（4分）

在数轴上表示如下：（略，数轴上从-2（空心点）到 $\frac{7}{5}$（实心点）的部分） …………（5分）

四、解答题（每题6分，共18分）

21. （每空1分）邻补角的定义；同角的补角相等；$EF$；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等。

22. 解：∵ $2a-1$ 的平方根是 $\pm 3$，

∴ $2a - 1 = 9$，解得 $a = 5$。 …………（2分）

∵ $3a+b-1$ 的算术平方根是 $4$，

∴ $3a + b - 1 = 16$。 …………（3分）

将 $a = 5$ 代入，得 $3 \times 5 + b - 1 = 16$，即 $15 + b - 1 = 16$，解得 $b = 2$。 …………（5分）

∴ $a + 2b = 5 + 2 \times 2 = 9$。

∵ $9$ 的立方根是 $\sqrt[3]{9}$，

∴ $a+2b$ 的立方根是 $\sqrt[3]{9}$。 …………（6分）

23. 解：（1）$120$； …………（1分）

（2）足球人数：$120 \times 20\% = 24$（人），补全条形图（略）。 …………（3分）

（3）$2000 \times 20\% = 400$（人）。

答：估计最喜欢“足球”的学生约有 $400$ 人。 …………（6分）

五、应用题（每题8分，共16分）

24. 解：设购买甲种钢笔 $x$ 支，则购买乙种钢笔 $(40-x)$ 支。 …………（1分）

根据题意得：

$\begin{cases} 8x + 10(40-x) \le 380 & \text{①} \\ x < \frac{2}{3}(40-x) & \text{②} \end{cases}$

解不等式①得：$x \ge 10$。 …………（3分）

解不等式②得：$x < 16$。 …………（4分）

∴ $10 \le x < 16$，且 $x$ 为整数，∴ $x = 10, 11, 12, 13, 14, 15$。 …………（5分）

∴ 共有6种购买方案。

设总利润为 $W$ 元，则 $W = (12-8)x + (15-10)(40-x) = 4x + 200 - 5x = 200 - x$。 …………（6分）

∵ $k = -1 < 0$，∴ $W$ 随 $x$ 的增大而减小。 …………（7分）

∴ 当 $x = 10$ 时，$W_{最大} = 200 - 10 = 190$（元）。

答：共有6种购买方案，当购买甲种钢笔10支，乙种钢笔30支时利润最大，最大利润为190元。 …………（8分）

25. 解：设有 $x$ 人，物品的价格是 $y$ 钱。 …………（1分）

根据题意得：

$\begin{cases} 8x = y + 3 \\ 7x = y - 4 \end{cases}$ …………（4分）

解得：$\begin{cases} x = 7 \\ y = 53 \end{cases}$ …………（7分）

答：有7人，物品的价格是53钱。 …………（8分）

六、综合题（每题11分，共22分）

26. 解：（1）点 $B$ 的坐标为 $(2 + 3 \times (-1), 3 \times 2 + (-1)) = (-1, 5)$。 …………（3分）

（2）点 $N$ 的坐标为 $( (m-1) + (-2)\times(2m), (-2)\times(m-1) + 2m ) = (m-1-4m, -2m+2+2m) = (-3m-1, 2)$。 …………（5分）

∵ 点 $N$ 位于 $y$ 轴上，∴ $-3m - 1 = 0$，解得 $m = -\frac{1}{3}$。 …………（7分）

∴ 点 $N$ 的坐标为 $(0, 2)$。 …………（8分）

（3）点 $D$ 的坐标为 $(1 + k \times (-2), k \times 1 + (-2)) = (1 - 2k, k - 2)$。 …………（9分）

∵ 点 $D$ 在第二象限，∴ $\begin{cases} 1 - 2k < 0 \\ k - 2 > 0 \end{cases}$，解得 $k > 2$。 …………（10分）

∵ 点 $D$ 到 $x$ 轴、$y$ 轴的距离相等，∴ $|1 - 2k| = |k - 2|$。

∵ $k > 2$，∴ $1 - 2k < 0$，$k - 2 > 0$。∴ $-(1 - 2k) = k - 2$，即 $2k - 1 = k - 2$，解得 $k = -1$（舍去）。

或 $1 - 2k = -(k - 2)$，即 $1 - 2k = -k + 2$，解得 $k = -1$（舍去）。

∴ 不存在满足条件的 $k$ 值。 …………（11分）

27. （1）证明：过点 $P$ 作 $PE \parallel l_1$，如图1。

∵ $l_1 \parallel l_2$，∴ $PE \parallel l_2$。 …………（1分）

∴ $\angle A = \angle APE$，$\angle C = \angle CPE$。 …………（2分）

∴ $\angle APC = \angle APE + \angle CPE = \angle A + \angle C$。 …………（3分）

（2）解：$\angle APC = \angle A - \angle C$。 …………（4分）

理由：过点 $P$ 作 $PF \parallel l_1$，如图2。

∵ $l_1 \parallel l_2$，∴ $PF \parallel l_2$。 …………（5分）

∴ $\angle A = \angle APF$，$\angle C = \angle CPF$。 …………（6分）

∵ $\angle APF = \angle APC + \angle CPF$，

∴ $\angle A = \angle APC + \angle C$，即 $\angle APC = \angle A - \angle C$。 …………（7分）

（3）解：设 $\angle PCD = \alpha$，则 $\angle PCB = \frac{1}{2}\alpha$。

∵ $l_1 \parallel l_2$，∴ $\angle ABC = \angle PCB = \frac{1}{2}\alpha$。 …………（8分）

∵ $BC$ 平分 $\angle PBD$，∴ $\angle PBC = \angle DBC = \frac{1}{2}\alpha$。

在 $\triangle BCD$ 中，$\angle DBC + \angle BCD + \angle D = 180^\circ$，即 $\frac{1}{2}\alpha + (\frac{1}{2}\alpha + \alpha) + \angle D = 180^\circ$，∴ $2\alpha + \angle D = 180^\circ$ ①。 …………（9分）

由（2）的结论，在图形3中，有 $\angle P = \angle A - \angle D$，即 $\angle P = 60^\circ - \angle D$ ②。

在四边形 $ABCP$ 中，$\angle A + \angle ABC + \angle PCB + \angle P = 360^\circ$，

即 $60^\circ + \frac{1}{2}\alpha + \frac{1}{2}\alpha + \angle P = 360^\circ$，∴ $\alpha + \angle P = 300^\circ$ ③。 …………（10分）

联立①②③，解得 $\angle D = 20^\circ$，$\angle P = 40^\circ$。

答：$\angle P$ 的度数为 $40^\circ$。 …………（11分）