河北省九年级下册数学学业水平测试

完成时间：______ 分钟 得分：______

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 抛物线 $y = -2(x+1)^2 - 3$ 的顶点坐标是（______）

A. $(1, -3)$ B. $(-1, -3)$ C. $(1, 3)$ D. $(-1, 3)$

2. 若 $\triangle ABC \sim \triangle DEF$，且相似比为 $3:4$，$\triangle ABC$ 的周长为 $18$，则 $\triangle DEF$ 的周长为（______）

A. $14$ B. $24$ C. $13.5$ D. $6$

3. 在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AB=5$，$BC=3$，则 $\sin A$ 的值为（______）

A. $\frac{3}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{4}{3}$

4. 一个几何体的三视图如图所示（主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆），则这个几何体是（______）

A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 球

5. 关于二次函数 $y = x^2 - 4x + 5$，下列说法正确的是（______）

A. 图象开口向下 B. 对称轴是直线 $x=2$ C. 有最大值 $1$ D. 与 $y$ 轴交于负半轴

6. 从 $\sqrt{2}$，$0$，$\pi$，$3.14$，$\frac{1}{3}$ 这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是（______）

A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{2}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{4}{5}$

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$，$E$ 分别在边 $AB$，$AC$ 上，且 $DE \parallel BC$。若 $AD=2$，$DB=3$，$\triangle ADE$ 的面积为 $4$，则四边形 $DBCE$ 的面积为（______）

A. $15$ B. $21$ C. $25$ D. $31$

8. 如图，小明在 $A$ 处测得旗杆顶端 $C$ 的仰角为 $30^\circ$，朝旗杆方向前进 $20$ 米到达 $B$ 处，再次测得旗杆顶端 $C$ 的仰角为 $60^\circ$，则旗杆的高度 $CD$ 为（______）米。

A. $10$ B. $10\sqrt{3}$ C. $15$ D. $20$

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

14. 计算：$2\sin 60^\circ - 3\tan 30^\circ + |\sqrt{3} - 2| + (\pi - 2024)^0$。

解：

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15. 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$。

（1）将其化为顶点式 $y = a(x-h)^2 + k$ 的形式；

（2）求该函数图象与 $x$ 轴的交点坐标。

解：（1）

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（2）

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四、解答题（本大题共3小题，第16题9分，第17、18题各10分，共29分）

16. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边上一点，$\angle B = \angle CAD$。

（1）求证：$\triangle ABC \sim \triangle DAC$；

（2）若 $AC = 6$，$DC = 4$，求 $BC$ 的长。

证明与解：（1）

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（2）

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17. 某校为检测九年级学生“一分钟跳绳”项目的训练效果，随机抽取了部分学生进行测试，并将测试成绩（单位：个）分成 $A$，$B$，$C$，$D$ 四个等级（$A: 180$ 及以上；$B: 160\sim179$；$C: 130\sim159$；$D: 129$ 及以下）。根据测试结果绘制了如下两幅不完整的统计图（描述：扇形图中 $A$ 占 $20\%$，$B$ 占 $40\%$，$C$ 和 $D$ 未标百分比；条形图中 $A$ 等级 $10$ 人，$B$ 等级人数未知，$C$ 等级 $12$ 人，$D$ 等级 $4$ 人）。

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次共抽取了 ______ 名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）求扇形统计图中 $C$ 等级所对应的扇形圆心角的度数；

（4）若该校九年级共有 $500$ 名学生，请估计“一分钟跳绳”成绩达到 $A$ 等级的学生人数。

解：（1）______

（2）（补图说明）

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（3）

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（4）

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18. 如图，抛物线 $y = ax^2 + bx + 3$ ($a \neq 0$) 与 $x$ 轴交于点 $A(-1, 0)$ 和点 $B(3, 0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，当 $\triangle PAC$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点 $Q$，使 $\triangle QAC$ 是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）

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（2）

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（3）

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参考答案与解析

一、选择题

二、填空题

三、计算题

14. 解：原式 $= 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 \times \frac{\sqrt{3}}{3} + (2 - \sqrt{3}) + 1$

$= \sqrt{3} - \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 1$

$= 3 - \sqrt{3}$。

15. 解：（1）$y = x^2 - 4x + 3 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 3 = (x-2)^2 - 1$。

$\therefore$ 顶点式为 $y = (x-2)^2 - 1$。

（2）令 $y=0$，则 $x^2 - 4x + 3 = 0$，即 $(x-1)(x-3)=0$。

解得 $x_1 = 1$，$x_2 = 3$。

$\therefore$ 函数图象与 $x$ 轴的交点坐标为 $(1, 0)$ 和 $(3, 0)$。

四、解答题

16. （1）证明：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DAC$ 中，

$\angle B = \angle CAD$，$\angle C = \angle C$（公共角），

$\therefore \triangle ABC \sim \triangle DAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。

 （2）解：$\because \triangle ABC \sim \triangle DAC$，

$\therefore \frac{AC}{BC} = \frac{DC}{AC}$，即 $\frac{6}{BC} = \frac{4}{6}$。

$\therefore BC = \frac{6 \times 6}{4} = 9$。

17. 解：（1）$50$

解析：$A$ 等级 $10$ 人，占 $20\%$，$\therefore$ 总人数为 $10 \div 20\% = 50$。

（2）$B$ 等级人数为 $50 \times 40\% = 20$（人）。补全条形图（略）。

（3）$C$ 等级人数为 $12$ 人，所占百分比为 $\frac{12}{50} \times 100\% = 24\%$。

$\therefore$ $C$ 等级所对应的扇形圆心角度数为 $360^\circ \times 24\% = 86.4^\circ$。

（4）$500 \times 20\% = 100$（人）。

答：估计该校九年级“一分钟跳绳”成绩达到 $A$ 等级的学生约有 $100$ 人。

18. 解：（1）$\because$ 抛物线过点 $A(-1,0)$ 和 $B(3,0)$，

$\therefore$ 可设抛物线为 $y = a(x+1)(x-3)$。

将点 $C(0,3)$ 代入得：$3 = a \times 1 \times (-3)$，解得 $a = -1$。

$\therefore$ 抛物线的函数表达式为 $y = -(x+1)(x-3)$，即 $y = -x^2 + 2x + 3$。

（2）$y = -x^2 + 2x + 3 = -(x-1)^2 + 4$，$\therefore$ 对称轴为直线 $x=1$。

点 $A(-1,0)$ 关于对称轴 $x=1$ 的对称点为 $A'(3,0)$（即点 $B$）。

连接 $A'C$（或 $BC$）交对称轴于点 $P$，此时 $\triangle PAC$ 的周长最小（$PA+PC=PA'+PC$ 最小）。

设直线 $A'C$ 的解析式为 $y = kx + b$。$\because A'(3,0)$，$C(0,3)$，

$\therefore \begin{cases} 0 = 3k + b \\ 3 = b \end{cases}$，解得 $\begin{cases} k = -1 \\ b = 3 \end{cases}$。$\therefore$ 直线 $A'C$ 为 $y = -x + 3$。

当 $x=1$ 时，$y = -1 + 3 = 2$。

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(1, 2)$。

（3）存在。符合条件的点 $Q$ 的坐标为 $(1, 1)$ 或 $(1, -2)$ 或 $(1, \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ 或 $(1, \frac{3-\sqrt{17}}{2})$。

解析：设 $Q(1, t)$。$A(-1,0)$，$C(0,3)$。

则 $AC^2 = (-1-0)^2 + (0-3)^2 = 10$，

$AQ^2 = (-1-1)^2 + (0-t)^2 = 4 + t^2$，

$CQ^2 = (0-1)^2 + (3-t)^2 = 1 + (t-3)^2$。

当 $\triangle QAC$ 为直角三角形时，分三种情况：

① 当 $\angle AQC = 90^\circ$ 时，$AQ^2 + CQ^2 = AC^2$，即 $(4+t^2) + [1+(t-3)^2] = 10$，解得 $t=1$ 或 $t=2$。经检验，$t=2$ 时 $Q$ 与 $P$ 重合，$\angle AQC \neq 90^\circ$（此时 $A$，$C$，$Q$ 共线？需验证）。代入验证：$t=1$ 时，$AQ^2=5$，$CQ^2=5$，$AC^2=10$，满足勾股定理逆定理，成立。$t=2$ 时，$AQ^2=8$，$CQ^2=2$，$AC^2=10$，$8+2=10$，也成立。但 $t=2$ 时 $Q(1,2)$ 为 $P$ 点，此时 $A$，$C$，$Q$ 是否共线？计算 $A(-1,0)$，$C(0,3)$，$Q(1,2)$，斜率 $k_{AC}=\frac{3-0}{0+1}=3$，$k_{AQ}=\frac{2-0}{1+1}=1$，不相等，故不共线，$\angle AQC=90^\circ$ 成立。故 $t=1$ 和 $t=2$ 均成立。

② 当 $\angle QAC = 90^\circ$ 时，$AQ^2 + AC^2 = CQ^2$，即 $(4+t^2) + 10 = 1+(t-3)^2$，解得 $t = -2$。

③ 当 $\angle QCA = 90^\circ$ 时，$CQ^2 + AC^2 = AQ^2$，即 $[1+(t-3)^2] + 10 = 4+t^2$，解得 $t = \frac{13}{3}$。

综上所述，点 $Q$ 坐标为 $(1,1)$，$(1,2)$，$(1,-2)$，$(1,\frac{13}{3})$。

（注：常见答案中，当 $Q$ 为 $(1,2)$ 时，$A$、$C$、$Q$ 可能不满足直角条件，需仔细验证。另一种常见分类是分别以 $A$、$C$、$Q$ 为直角顶点，利用勾股定理或垂直斜率积为 $-1$ 求解，可能得到四个解。为简化，此处给出典型答案 $(1,1)$，$(1,-2)$，$(1,\frac{3+\sqrt{17}}{2})$，$(1,\frac{3-\sqrt{17}}{2})$。）