2026年全国乙卷数学高考前必刷题

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________      学号：__________      班级：__________

完成时间：_______ 分钟      得分：_______

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_3 + a_7 = 10$，$S_9 = 45$，则其公差 $d$ 等于（______）

A. 1      B. 2      C. -1      D. -2

2. 函数 $f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度后，得到的函数图象的对称轴方程可能是（______）

A. $x = \frac{\pi}{12}$      B. $x = \frac{\pi}{6}$      C. $x = \frac{\pi}{3}$      D. $x = \frac{5\pi}{12}$

3. 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，若 $a = 2\sqrt{3}$，$b=2$，$A = \frac{\pi}{3}$，则角 $B$ 的大小为（______）

A. $\frac{\pi}{6}$      B. $\frac{\pi}{3}$      C. $\frac{\pi}{6}$ 或 $\frac{5\pi}{6}$      D. $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2\pi}{3}$

4. 已知等比数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，且 $a_1 a_5 + 2a_3 a_5 + a_2 a_8 = 25$，则 $a_3 + a_5$ 的值为（______）

A. 5      B. 10      C. 15      D. 20

5. 若 $\alpha \in (0, \pi)$，且 $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$，则 $\tan \alpha$ 的值为（______）

A. $-\frac{4}{3}$      B. $-\frac{3}{4}$      C. $\frac{4}{3}$      D. $\frac{3}{4}$

6. 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = \frac{2a_n}{a_n + 2}$ $(n \in \mathbb{N}^*)$，则 $a_{2026} =$（______）

A. $\frac{1}{2026}$      B. $\frac{2}{2027}$      C. $\frac{1}{1013}$      D. $\frac{2}{2025}$

7. 已知函数 $f(x) = A \sin(\omega x + \varphi)$ $(A > 0, \omega > 0, |\varphi| < \pi)$ 的部分图象如图所示（注：此处不依赖图片，用文字描述关键信息），其最小正周期为 $\pi$，且图象关于点 $(\frac{\pi}{12}, 0)$ 对称。将 $f(x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位，得到函数 $g(x)$ 的图象，则 $g(x)$ 的解析式为（______）

A. $g(x) = 2\sin(4x - \frac{\pi}{3})$      B. $g(x) = 2\sin(x - \frac{\pi}{6})$

C. $g(x) = 2\sin(2x - \frac{2\pi}{3})$      D. $g(x) = 2\sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{12})$

8. 设 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_1 = 2$，且对任意正整数 $m, n$，都有 $a_{m+n} = a_m + a_n + mn$，则 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{S_k}$ 的值为（______）

A. $\frac{10}{21}$      B. $\frac{20}{41}$      C. $\frac{5}{11}$      D. $\frac{15}{31}$

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

9. 已知数列 $\{a_n\}$ 是公比为2的等比数列，$S_n$ 为其前 $n$ 项和。若 $S_4 = 15a_2$，则 $a_1 =$ ______。

10. 在 $\triangle ABC$ 中，$\sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7$，则此三角形中最大角的余弦值为 ______。

11. 已知 $\theta$ 为锐角，且 $\sin(\theta + \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$，则 $\cos(\theta - \frac{5\pi}{12}) =$ ______。

12. 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $S_n = 2a_n - 2^{n+1} + 2$ $(n \in \mathbb{N}^*)$，则数列 $\{ \frac{a_n}{2^n} \}$ 的前 $n$ 项和 $T_n =$ ______。

三、解答题（本大题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

13. （本小题满分10分）

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，且 $b \cos C + c \cos B = 2a \cos A$。

（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）若 $a = \sqrt{7}$，且 $\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求 $b + c$ 的值。

答：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

14. （本小题满分10分）

已知等差数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d > 0$，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_2, a_4, a_8$ 成等比数列。

（Ⅰ）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）令 $b_n = \frac{1}{S_n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$。

答：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

15. （本小题满分10分）

已知函数 $f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2}$。

（Ⅰ）求函数 $f(x)$ 的单调递增区间；

（Ⅱ）若将函数 $f(x)$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g(x)$ 的图象，求方程 $g(x) - m = 0$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上有且仅有两个不等实根时，实数 $m$ 的取值范围。

答：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

16. （本小题满分10分）

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，a_{n+1} = \begin{cases} a_n + 2n, & \text{n为奇数} \\ 2a_n, & \text{n为偶数} \end{cases} $(n \in \mathbb{N}^*)$。

（Ⅰ）求 $a_2, a_3, a_4$ 的值，并猜想数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，证明：当 $n \ge 2$ 且 $n$ 为偶数时，$S_n > 3 \times 2^{\frac{n}{2}} - n - 2$。

答：

（Ⅰ）

（Ⅱ）