天津人教版数学初二上册综合测试卷

姓名：__________ 班级：__________ 完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（______）

A. 1 cm，2 cm，3 cm B. 2 cm，3 cm，4 cm C. 3 cm，4 cm，9 cm D. 4 cm，5 cm，10 cm

2. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 50^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，则 $\angle C$ 的度数为（______）

A. $50^\circ$ B. $60^\circ$ C. $70^\circ$ D. $80^\circ$

3. 下列图形中，是轴对称图形的是（______）

A. 平行四边形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 梯形

4. 计算 $a^3 \cdot a^2$ 的结果是（______）

A. $a^5$ B. $a^6$ C. $a^9$ D. $a$

5. 如图，在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，$AB = DE$，$\angle B = \angle E$，添加下列条件后，不能判定 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ 的是（______）

A. $BC = EF$ B. $\angle A = \angle D$ C. $AC = DF$ D. $\angle C = \angle F$

6. 点 $P(2, -3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（______）

A. $(-2, -3)$ B. $(2, 3)$ C. $(-2, 3)$ D. $(3, -2)$

7. 下列计算正确的是（______）

A. $(a^2)^3 = a^5$ B. $a^6 \div a^2 = a^3$ C. $(-2a)^2 = 4a^2$ D. $a^2 + a^2 = a^4$

8. 等腰三角形的一个角是 $80^\circ$，则它的底角是（______）

A. $50^\circ$ B. $80^\circ$ C. $50^\circ$ 或 $80^\circ$ D. $20^\circ$

9. 若 $a^m = 3$，$a^n = 2$，则 $a^{m+n}$ 的值为（______）

A. 5 B. 6 C. 8 D. 9

10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是中线，$\angle B = 50^\circ$，则 $\angle BAD$ 的度数为（______）

A. $40^\circ$ B. $50^\circ$ C. $80^\circ$ D. $100^\circ$

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

三、解答题（本大题共6小题，共46分）

19. （8分）计算：

（1）$a^3 \cdot a^5 + (a^2)^4 - a^8 \div a^2$

答：________________________________________

（2）$(2x+3y)(2x-3y) - (x-2y)^2$

答：________________________________________

20. （6分）如图，点 $B$、$E$、$C$、$F$ 在同一直线上，$AB = DE$，$AC = DF$，$BE = CF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。

21. （8分）已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle A = 70^\circ$，$\angle B = 50^\circ$，$CD$ 是 $\angle ACB$ 的平分线。求 $\angle ACD$ 和 $\angle BDC$ 的度数。

22. （8分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD \perp BC$ 于点 $D$，$E$ 是 $AD$ 上一点。求证：$BE = CE$。

23. （8分）先化简，再求值：$(a+2b)(a-2b) + (a+2b)^2 - 4ab$，其中 $a = 1$，$b = \frac{1}{2}$。

解：________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

24. （8分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^\circ$，$D$ 是 $AC$ 的中点，$DE \perp AC$ 交 $BC$ 于点 $E$，连接 $AE$。求证：$AE = BE + CE$。

证明：________________________________________

________________________________________

________________________________________

________________________________________

参考答案

一、选择题

1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. B 7. C 8. C 9. B 10. A

二、填空题

11. 180     12. $-6x^5$     13. 15     14. $a^2 - 4$     15. 5     16. $-27a^6b^3$     17. $(1, 2)$     18. $\pm 6$

三、解答题

19. （1）解：$a^3 \cdot a^5 + (a^2)^4 - a^8 \div a^2 = a^8 + a^8 - a^6 = 2a^8 - a^6$。

（2）解：$(2x+3y)(2x-3y) - (x-2y)^2 = 4x^2 - 9y^2 - (x^2 - 4xy + 4y^2) = 4x^2 - 9y^2 - x^2 + 4xy - 4y^2 = 3x^2 + 4xy - 13y^2$。

20. 证明：$\because BE = CF$，$\therefore BE + EC = CF + EC$，即 $BC = EF$。在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，$\because AB = DE$，$AC = DF$，$BC = EF$，$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$（SSS）。

21. 解：在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$。$\because CD$ 平分 $\angle ACB$，$\therefore \angle ACD = \frac{1}{2} \angle ACB = 30^\circ$。$\because \angle BDC$ 是 $\triangle ADC$ 的外角，$\therefore \angle BDC = \angle A + \angle ACD = 70^\circ + 30^\circ = 100^\circ$。

22. 证明：$\because AB = AC$，$AD \perp BC$，$\therefore AD$ 是 $BC$ 的垂直平分线。$\because E$ 在 $AD$ 上，$\therefore BE = CE$。

23. 解：原式 $= a^2 - 4b^2 + a^2 + 4ab + 4b^2 - 4ab = 2a^2$。当 $a = 1$ 时，原式 $= 2 \times 1^2 = 2$。

24. 证明：$\because D$ 是 $AC$ 的中点，$DE \perp AC$，$\therefore DE$ 是 $AC$ 的垂直平分线，$\therefore AE = CE$。在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC = 90^\circ$，$\therefore AB^2 + BC^2 = AC^2$。又 $\because AE = CE$，$\therefore AE^2 = CE^2$。$\because AE = BE + CE$ 需在特定条件下成立，此处通过垂直平分线性质得 $AE = CE$，而 $BE + CE = BE + AE$，在直角三角形中，$AE > BE$，故原结论不成立。正确结论应为 $AE = CE$，或通过勾股定理进一步推导。修正：由垂直平分线得 $AE = CE$，则 $AE = CE$，而 $BE + CE = BE + AE$，在 $\triangle ABE$ 中，$AE < AB + BE$，故 $AE = BE + CE$ 不成立。本题应改为求证 $AE = CE$。