南京中考数学复习卷

（满分：120分 考试时间：120分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟     得分：_______

题号	一	二	三	总分
分数

注意事项：

1. 本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。

2. 答题前，请务必将姓名、学号、班级填写清楚。

3. 所有答案必须写在答题卡规定的区域内，写在试卷上或草稿纸上无效。

4. 选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔作答。

5. 作图题用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

1. 数 $-3$ 的绝对值是（      ）

A. $-3$    B. $3$    C. $-\frac{1}{3}$    D. $\frac{1}{3}$

2. 下列计算正确的是（      ）

A. $a^2 \cdot a^3 = a^6$    B. $(ab)^2 = ab^2$    C. $(a^2)^3 = a^5$    D. $(-2a^2)^3 = -8a^6$

3. 以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（      ）

A. $1, 2, 3$    B. $2, 3, 5$    C. $3, 4, 8$    D. $4, 5, 6$

4. 如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（      ）

A.     B.     C.     D.

5. 某班7名同学在一分钟跳绳测试中的成绩（单位：个）如下：180， 160， 170， 175， 165， 178， 172。这组数据的中位数是（      ）

A. $172$    B. $171$    C. $170$    D. $175$

6. 如图，点 $A$ 是反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ $(k \neq 0)$ 图象上的一点，过点 $A$ 作 $AB \perp x$ 轴于点 $B$，连接 $OA$。若 $\triangle AOB$ 的面积为 $3$，则 $k$ 的值为（      ）

A. $3$    B. $-3$    C. $6$    D. $-6$

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7. $4$ 的算术平方根是 __________。

8. 分解因式：$x^2 - 9 =$ __________。

9. 我国南海海域面积约为 $3500000\text{km}^2$，将数据 $3500000$ 用科学记数法表示为 __________。

10. 若分式 $\frac{x}{x-2}$ 有意义，则实数 $x$ 的取值范围是 __________。

11. 若 $x=1$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + ax - 2 = 0$ 的一个根，则 $a$ 的值为 __________。

12. 正六边形的外角和等于 __________ $^{\circ}$。

13. 如图，直线 $a \parallel b$，直线 $c$ 与直线 $a$， $b$ 分别交于点 $A$， $B$。若 $\angle 1 = 45^{\circ}$，则 $\angle 2 =$ __________ $^{\circ}$。

14. 已知一次函数 $y = (k-3)x + 1$，若 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $k$ 的取值范围是 __________。

15. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的弦，半径 $OC \perp AB$ 于点 $D$，若 $AB=8$，$CD=2$，则 $\odot O$ 的半径长为 __________。

16. 如图，将边长为 $6$ 的正方形 $ABCD$ 折叠，使点 $D$ 落在 $AB$ 边上的点 $E$ 处，折痕为 $FH$（点 $F$ 在 $CD$ 上，点 $H$ 在 $AD$ 上），$C$ 点落在点 $G$ 处，$EG$ 与 $BC$ 交于点 $P$。若 $\tan \angle AEF = \frac{3}{4}$，则 $EP$ 的长为 __________。

三、解答题（本大题共11小题，共88分）

17. （7分）计算：$(-1)^{2024} + |\sqrt{3}-2| - (-\frac{1}{2})^{-2} + \sqrt{12}$。

18. （7分）解不等式组 $\begin{cases} 2x+1 > -1 \\ 3-x \ge 2 \end{cases}$，并写出它的所有整数解。

19. （8分）如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD \parallel BC$，$AC$ 平分 $\angle BAD$，$BD$ 平分 $\angle ABC$，点 $E$ 在边 $AB$ 上。

（1）求证：四边形 $ABCD$ 是平行四边形；

（2）若 $AD=5$，$BD=6$，求平行四边形 $ABCD$ 的面积。

20. （7分）某校为了解学生对“人工智能”、“航空航天”、“生物技术”、“新能源”四个科技领域的关注情况，随机抽取了部分学生进行调查（每人必须且只能选择一个最关注的领域），根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图。

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有 __________ 人；

（2）在扇形统计图中，“航空航天”领域所对应的扇形圆心角的度数为 __________ $^{\circ}$；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该校共有 $2000$ 名学生，请估计最关注“新能源”领域的学生人数。

21. （8分）某校举行“交通安全知识”竞赛，从七年级和八年级各随机抽取 $10$ 名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 $x$ 表示，共分成四组：A. $80 \le x < 85$；B. $85 \le x < 90$；C. $90 \le x < 95$；D. $95 \le x \le 100$）。下面给出了部分信息：

七年级 $10$ 名学生的成绩是：$81, 85, 86, 88, 89, 89, 92, 94, 95, 98$。

八年级 $10$ 名学生的成绩在 C 组中的数据是：$92, 93, 94$。

八年级抽取的学生成绩扇形统计图：

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表：

年级	平均数	中位数	众数
七年级	$89.7$	$89$	$a$
八年级	$90.4$	$b$	$100$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）直接写出上述图表中 $a$， $b$ 的值；

（2）根据以上数据，你认为哪个年级学生对“交通安全知识”掌握得更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）该校七年级有 $500$ 人，八年级有 $480$ 人参加了此次竞赛，请估计两个年级竞赛成绩达到 $90$ 分及以上的学生总人数。

22. （7分）甲、乙、丙三人玩传球游戏，游戏规则是：第一次传球由甲将球随机地传给乙或丙中的一人，以后的每一次传球都由持球者随机地传给其他两人中的一人。

（1）求第一次传球后，球在乙手中的概率；

（2）请用画树状图或列表的方法，求第二次传球后，球回到甲手中的概率。

（3）若进行三次传球后，记球在甲手中的次数为 $k$。甲、乙两人约定：若 $k \ge 1$，则甲获胜；否则乙获胜。你认为这个游戏公平吗？请说明理由。

23. （8分）如图，某数学兴趣小组为测量一座古塔 $AB$ 的高度，在塔前平地上选择一点 $C$，测得塔顶 $A$ 的仰角为 $30^{\circ}$，然后向塔的方向前进 $20$ 米到达点 $D$ 处，测得塔顶 $A$ 的仰角为 $60^{\circ}$（点 $B$， $C$， $D$ 在同一直线上）。求古塔 $AB$ 的高度（结果保留根号）。

24. （8分）某超市销售一种进价为 $40$ 元/件的商品，经市场调查发现：该商品的日销售量 $y$（件）与销售单价 $x$（元/件）之间满足一次函数关系，其部分对应值如下表：

销售单价 $x$（元/件）	$50$	$60$
日销售量 $y$（件）	$200$	$160$

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）设该商品的日销售利润为 $w$ 元，求 $w$ 与 $x$ 之间的函数表达式，并求该商品销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？

25. （8分）如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$ 是 $\odot O$ 上一点，$D$ 是 $\widehat{AC}$ 的中点，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $E$，连接 $AD$， $CD$。

（1）求证：$DE \perp AE$；

（2）若 $BE=2$，$BD=4$，求 $CD$ 的长。

26. （9分）已知二次函数 $y = x^2 - 2mx + m^2 - 1$（$m$ 为常数）。

（1）求证：不论 $m$ 为何值，该函数的图象与 $x$ 轴总有两个公共点；

（2）该函数的图象的顶点为 $C$，与 $x$ 轴交于 $A$， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $D$。

① 当 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形时，求 $m$ 的值；

② 设点 $E$ 在抛物线的对称轴上，当 $\angle AEC = \angle BED$ 时，求点 $E$ 的纵坐标的取值范围。

27. （11分）【问题提出】

如图①，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$AD=6$，点 $E$ 是边 $AD$ 上一动点，将 $\triangle ABE$ 沿直线 $BE$ 折叠，点 $A$ 的对应点为点 $A‘$。

【初步探究】

（1）如图①，当点 $A‘$ 恰好落在对角线 $BD$ 上时，求 $AE$ 的长；

【深入思考】

（2）如图②，当点 $E$ 是 $AD$ 的中点时，$A’B$ 的延长线交 $CD$ 于点 $F$，求 $DF$ 的长；

【拓展延伸】

（3）在点 $E$ 的运动过程中，是否存在某一位置，使得 $\triangle A'DE$ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的 $AE$ 的长；若不存在，请说明理由。

（图①）	（图②）

参考答案及解析

一、选择题

1. B
解析：负数的绝对值是它的相反数，$|-3|=3$。

2. D
解析：A选项 $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3}=a^5$；B选项 $(ab)^2 = a^2b^2$；C选项 $(a^2)^3 = a^{2\times3}=a^6$；D选项 $(-2a^2)^3 = (-2)^3 \cdot (a^2)^3 = -8a^6$，正确。

3. D
解析：三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。A: $1+2=3$，不能；B: $2+3=5$，不能；C: $3+4=7<8$，不能；D: $4+5=9>6$，$4+6=10>5$，$5+6=11>4$，能组成三角形。

4. C
解析：从上面看，可以看到三列，最左边一列有一个小正方形，中间和右边一列各有两个小正方形，且上下对齐。选项C符合。

5. A
解析：将数据从小到大排列：160，165，170，172，175，178，180。中位数是第4个数，即172。

6. D
解析：设 $A(x, y)$，则 $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}|x \cdot y| = \frac{1}{2}|k| = 3$，所以 $|k|=6$。由图象在第二象限，$k<0$，故 $k=-6$。

二、填空题

7. $2$
解析：$\sqrt{4}=2$。

8. $(x+3)(x-3)$
解析：平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。

9. $3.5 \times 10^6$
解析：科学记数法 $a \times 10^n$，$1 \le |a| < 10$，$3500000=3.5\times10^6$。

10. $x \ne 2$
解析：分式有意义的条件是分母不为零，$x-2 \ne 0$，即 $x \ne 2$。

11. $1$
解析：将 $x=1$ 代入方程得 $1^2 + a \times 1 - 2 = 0$，解得 $a=1$。

12. $360$
解析：任意多边形的外角和都等于 $360^{\circ}$。

13. $135$
解析：如图，$\angle 1 = \angle 3 = 45^{\circ}$（两直线平行，同位角相等）。$\angle 2 + \angle 3 = 180^{\circ}$（平角定义），所以 $\angle 2 = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$。

14. $k < 3$
解析：一次函数 $y=kx+b$，当 $k<0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。所以 $k-3<0$，解得 $k<3$。

15. $5$
解析：连接 $OA$。设半径为 $r$，则 $OD = OC - CD = r-2$。由垂径定理，$AD = \frac{1}{2}AB = 4$。在 Rt$\triangle OAD$ 中，由勾股定理得 $OA^2 = OD^2 + AD^2$，即 $r^2 = (r-2)^2 + 4^2$，解得 $r=5$。

16. $\frac{12}{5}$
解析：由折叠可知，$EF=DF$，$\angle AEF = \angle D = 90^{\circ}$。在 Rt$\triangle AEF$ 中，$\tan \angle AEF = \frac{AF}{AE} = \frac{3}{4}$，设 $AF=3k$，$AE=4k$，则 $EF=DF=AD-AF=6-3k$。在正方形中，$AB=6$，所以 $EB=AB-AE=6-4k$。由折叠，$EG=CD=6$。在 Rt$\triangle EBG$ 中，$BG=\sqrt{EG^2 - EB^2}=\sqrt{6^2 - (6-4k)^2}$。又因为 $\triangle AEF \sim \triangle BPE$（两角对应相等），所以 $\frac{BP}{AE} = \frac{EB}{AF}$，即 $\frac{BP}{4k} = \frac{6-4k}{3k}$，解得 $BP = \frac{4(6-4k)}{3}$。而 $BP + PG = BG$，且 $PG = EP$（折叠对称）。通过计算（过程略），可解得 $k=1$，进而 $EP = \frac{12}{5}$。

三、解答题

17. 解：原式 $= 1 + (2 - \sqrt{3}) - 4 + 2\sqrt{3}$
$= 1 + 2 - \sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3}$
$= (1+2-4) + (-\sqrt{3}+2\sqrt{3})$
$= -1 + \sqrt{3}$。

18. 解：解不等式 $2x+1 > -1$，得 $2x > -2$，$x > -1$。
解不等式 $3-x \ge 2$，得 $-x \ge -1$，$x \le 1$。
∴ 不等式组的解集为 $-1 < x \le 1$。
∴ 它的所有整数解为 $0$， $1$。

19. （1）证明：∵ $AD \parallel BC$，∴ $\angle DAC = \angle ACB$。
∵ $AC$ 平分 $\angle BAD$，∴ $\angle DAC = \angle BAC$。
∴ $\angle ACB = \angle BAC$，∴ $AB \parallel CD$。
又∵ $AD \parallel BC$，∴ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
（2）解：由（1）知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，∴ $BC=AD=5$。
∵ $BD$ 平分 $\angle ABC$，∴ $\angle ABD = \angle CBD$。
∵ $AD \parallel BC$，∴ $\angle ADB = \angle CBD$。
∴ $\angle ABD = \angle ADB$，∴ $AB = AD = 5$。
过点 $D$ 作 $DH \perp AB$ 于点 $H$。
则 $BH = \frac{1}{2} AB = \frac{5}{2}$（等腰三角形三线合一）。
在 Rt$\triangle BDH$ 中，$DH = \sqrt{BD^2 - BH^2} = \sqrt{6^2 - (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{36 - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{119}{4}} = \frac{\sqrt{119}}{2}$。
∴ 平行四边形 $ABCD$ 的面积 $= AB \cdot DH = 5 \times \frac{\sqrt{119}}{2} = \frac{5\sqrt{119}}{2}$。

20. 解：（1）$120$ （由条形图“人工智能”36人，扇形图占比30%，$36 \div 30\% = 120$）
（2）$108$ （“航空航天”人数为 $120 \times 25\% = 30$ 人，圆心角 $360^{\circ} \times \frac{30}{120} = 90^{\circ}$，注意：扇形图中已给出百分比为25%，所以 $360^{\circ} \times 25\% = 90^{\circ}$。原答案108有误，应为90）
更正：$90$
（3）“生物技术”人数：$120 - 36 - 30 - 42 = 12$ 人。补全条形图略。
（4）$2000 \times \frac{42}{120} = 700$（人）。
答：估计最关注“新能源”领域的学生人数为 $700$ 人。

21. 解：（1）七年级成绩中 $89$ 出现两次，次数最多，∴ 众数 $a = 89$。
八年级成绩总人数 $10$ 人，A组 $10 \times 20\% = 2$ 人，B组 $10 \times 10\% = 1$ 人，C组已知有3个数据，则D组有 $10-2-1-3=4$ 人。
将八年级成绩按从小到大排列，第5、6个数据均在C组（$92, 93, 94$），所以中位数 $b = \frac{92+93}{2} = 92.5$。
（2）八年级掌握得更好。理由：八年级的平均数（$90.4$）高于七年级（$89.7$），说明八年级整体水平更高。（或八年级的中位数 $92.5$ 高于七年级的 $89$，说明八年级有一半以上的学生成绩更好。）
（3）七年级 $90$ 分及以上人数：$10$ 人中有 $5$ 人（$92,94,95,98,89?$ 注意：七年级成绩为81,85,86,88,89,89,92,94,95,98，其中 $90$ 分及以上的有 $92,94,95,98$ 共4人）。频率为 $\frac{4}{10}=0.4$。
八年级 $90$ 分及以上人数：C组和D组，共 $3+4=7$ 人，频率为 $\frac{7}{10}=0.7$。
估计总人数：$500 \times 0.4 + 480 \times 0.7 = 200 + 336 = 536$（人）。
答：估计两个年级竞赛成绩达到 $90$ 分及以上的学生总人数约为 $536$ 人。

22. 解：（1）第一次传球，甲可以传给乙或丙，共2种等可能结果，球在乙手中是其中1种，∴ $P(第一次在乙手) = \frac{1}{2}$。
（2）画树状图如下：

共有4种等可能结果，其中第二次传球后球回到甲手中有2种情况（甲->乙->甲，甲->丙->甲）。
∴ $P(第二次回到甲手) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
（3）不公平。
理由：由（2）知，两次传球后球回到甲手中的概率为 $\frac{1}{2}$，则不在甲手中的概率也为 $\frac{1}{2}$。
进行三次传球，球在甲手中的次数 $k$ 可能为 $0, 1, 2$。
可以计算 $P(k=0) = \frac{1}{4}$，$P(k=1) = \frac{1}{2}$，$P(k=2) = \frac{1}{4}$。
则 $P(k \ge 1) = P(k=1)+P(k=2) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。
$P(乙获胜) = P(k=0) = \frac{1}{4}$。
∵ $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$，∴ 甲获胜的概率大于乙获胜的概率，游戏不公平。

23. 解：设 $AB = x$ 米。
在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 30^{\circ}$，∴ $BC = \frac{AB}{\tan 30^{\circ}} = \frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3}x$。
在 Rt$\triangle ABD$ 中，$\angle ADB = 60^{\circ}$，∴ $BD = \frac{AB}{\tan 60^{\circ}} = \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}x$。
由题意知 $CD = BC - BD = 20$，即 $\sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x = 20$。
$\frac{2\sqrt{3}}{3}x = 20$，解得 $x = 10\sqrt{3}$。
答：古塔 $AB$ 的高度为 $10\sqrt{3}$ 米。

24. 解：（1）设 $y = kx + b$，将 $(50, 200)$， $(60, 160)$ 代入得：
$\begin{cases} 50k+b=200 \\ 60k+b=160 \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k=-4 \\ b=400 \end{cases}$
∴ $y$ 与 $x$ 的函数表达式为 $y = -4x + 400$。
（2）由题意得：$w = (x-40)y = (x-40)(-4x+400) = -4x^2 + 560x - 16000$。
化为顶点式：$w = -4(x-70)^2 + 3600$。
∵ $-4 < 0$，∴ 当 $x=70$ 时，$w$ 取得最大值，最大值为 $3600$。
答：$w$ 与 $x$ 的函数表达式为 $w = -4x^2 + 560x - 16000$，该商品销售单价定为 $70$ 元时，日销售利润最大，最大利润是 $3600$