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实用高等数学试卷

实用高等数学试卷 （满分：100分 考试时间：90分钟） 完成时间：__________ 分钟 得分：__________ 姓名： __________ 学号： __________ 班级： __________ 题号 一 二 三 四 五 总分 分数 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。 2. 请使用黑色签字笔在指定

试卷正文

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实用高等数学试卷


（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：__________ 分钟 得分：__________


姓名：

__________

学号：

__________

班级：

__________



题号

一

二

三

四

五

总分

分数








注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 请使用黑色签字笔在指定区域内作答，保持卷面整洁。

3. 所有计算题和应用题需写出必要的解题步骤。


一、填空题（每空2分，共20分）


1. 函数 f(x)=4−x2f(x) = \sqrt{4-x^2} 的定义域是 ______。

2. lim⁡x→0sin⁡3xx=\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = ______。

3. 设 y=ex2y = e^{x^2}，则 y‘=y‘ = ______。

4. 曲线 y=x3−3xy = x^3 - 3x 在点 (1,−2)(1, -2) 处的切线斜率是 ______。

5. ∫xcos⁡x dx=\int x \cos x \, dx = ______。

6. 若 ∫0a2x dx=4\int_{0}^{a} 2x \, dx = 4，则 a=a = ______。

7. 函数 f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x 的单调递增区间是 ______。

8. 微分方程 y‘=2xy‘ = 2x 的通解是 ______。

9. 已知 f‘(1)=2f‘(1) = 2，则 lim⁡Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x) - f(1)}{\Delta x} = ______。

10. ddx∫0xsin⁡t2 dt=\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \sin t^2 \, dt = ______。


二、选择题（每题3分，共12分）


1. 当 x→0x \to 0 时，下列函数中与 xx 为等价无穷小的是（______）。

A. sin⁡2x\sin 2x    B. 1+x−1\sqrt{1+x} - 1    C. ln⁡(1+x)\ln(1+x)    D. 1−cos⁡x1 - \cos x

2. 函数 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处可导是 f(x)f(x) 在点 x0x_0 处连续的（______）。

A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件

3. 下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（______）。

A. f(x)=∣x∣,[−1,1]f(x)=|x|, \quad [-1, 1]    B. f(x)=x2,[0,2]f(x)=x^2, \quad [0, 2]

C. f(x)=sin⁡x,[0,π]f(x)=\sin x, \quad [0, \pi]    D. f(x)=1x,[−1,1]f(x)=\frac{1}{x}, \quad [-1, 1]

4. 若 F‘(x)=f(x)F‘(x) = f(x)，则下列等式正确的是（______）。

A. ∫f(x) dx=F(x)\int f(x) \, dx = F(x)    B. ∫f(x) dx=F(x)+C\int f(x) \, dx = F(x) + C

C. ddx∫f(x) dx=f‘(x)\frac{d}{dx} \int f(x) \, dx = f‘(x)    D. ∫F(x) dx=f(x)+C\int F(x) \, dx = f(x) + C


三、计算题（每题8分，共24分）

1. 求极限 lim⁡x→∞(1+2x)3x\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x}。

解：








2. 设函数 y=ln⁡(x+1+x2)y = \ln(x + \sqrt{1+x^2})，求 dydx\frac{dy}{dx}。

解：








3. 计算不定积分 ∫xx2+1 dx\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx。

解：









四、应用题（每题10分，共20分）

1. 欲用围墙围成面积为 216m2216 \text{m}^2 的一块矩形场地，并在正中用一堵墙将其隔成两块。问如何设计长和宽，才能使所用建筑材料最省？

解：












2. 求由曲线 y=x2y = x^2 与直线 y=2xy = 2x 所围成平面图形的面积。

解：













五、证明题（本题12分）

证明：方程 x3−3x+1=0x^3 - 3x + 1 = 0 在区间 (1,2)(1, 2) 内至少有一个实根。

证明：












✕

参考答案及评分标准


一、填空题（每空2分，共20分）

1. [−2,2][-2, 2]    2. 33    3. 2xex22x e^{x^2}    4. 00    5. xsin⁡x+cos⁡x+Cx \sin x + \cos x + C

6. 22    7. (−∞,−1]∪[1,+∞)(-\infty, -1] \cup [1, +\infty)    8. y=x2+Cy = x^2 + C    9. 22    10. sin⁡x2\sin x^2

二、选择题（每题3分，共12分）

1. C 2. B 3. C 4. B

三、计算题（每题8分，共24分）

1. 解：



lim⁡x→∞(1+2x)3x=lim⁡x→∞[(1+2x)x2]6\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^{6}   （3分）



令 t=x2t = \frac{x}{2}，则当 x→∞x \to \infty 时，t→∞t \to \infty。



原式 =[lim⁡t→∞(1+1t)t]6= \left[ \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t} \right]^{6}   （3分）



=e6= e^{6}   （2分）

2. 解：



y‘=1x+1+x2⋅(1+2x21+x2)y‘ = \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \left( 1 + \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}} \right) （4分）



=1x+1+x2⋅(1+x2+x1+x2)= \frac{1}{x + \sqrt{1+x^2}} \cdot \left( \frac{\sqrt{1+x^2} + x}{\sqrt{1+x^2}} \right) （2分）



=11+x2= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} （2分）

3. 解：



∫xx2+1 dx=12∫1x2+1 d(x2+1)\int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 + 1} \, d(x^2 + 1)   （4分）



=12ln⁡∣x2+1∣+C= \frac{1}{2} \ln |x^2 + 1| + C   （4分）



=12ln⁡(x2+1)+C= \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + C   （注：x2+1>0x^2+1>0，绝对值可省略）

四、应用题（每题10分，共20分）

1. 解：设矩形场地长为 xx 米，宽为 yy 米，则中间还有一堵墙长度为 yy 米。



由题意，面积 xy=216xy = 216，即 y=216xy = \frac{216}{x}。   （2分）



所用材料总长度（围墙总长）为 L=2x+3y=2x+3⋅216x=2x+648xL = 2x + 3y = 2x + 3 \cdot \frac{216}{x} = 2x + \frac{648}{x}，(x>0)(x > 0)。   （2分）

求导得 L‘=2−648x2L‘ = 2 - \frac{648}{x^2}。   （2分）

令 L‘=0L‘ = 0，解得 x2=324x^2 = 324，故 x=18x = 18（舍去负值）。   （2分）

当 0<x<180 < x < 18 时，L‘<0L‘ < 0；当 x>18x > 18 时，L‘>0L‘ > 0。所以 x=18x=18 是极小值点，也是最小值点。

此时 y=21618=12y = \frac{216}{18} = 12。

答：当长为 1818 米，宽为 1212 米时，所用材料最省。   （2分）

2. 解：先求曲线与直线的交点。