九年级数学二次函数综合大题

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一、综合题（共5题）

1. 已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$，顶点为 $D$。

（1）求 $A$、$D$ 两点的坐标；

（2）求四边形 $ABCD$ 的面积；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使得 $\triangle PBC$ 是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

2. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx + 3$ 经过点 $A(-1,0)$ 和点 $B(3,0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 是直线 $BC$ 上方抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $PD \perp x$ 轴于点 $D$，交 $BC$ 于点 $E$。求线段 $PE$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求 $\triangle PBC$ 面积的最大值。

3. 抛物线 $y = x^2 - 4x + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求 $\triangle ABC$ 的面积；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点，且在 $x$ 轴上方，当 $\triangle PAB$ 的面积等于 $\triangle ABC$ 的面积时，求点 $P$ 的坐标；

4. 已知抛物线 $y = -x^2 + 4x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（2）点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，当 $PA + PC$ 的值最小时，求点 $P$ 的坐标，并求出求 $PA + PC$ 的最小值。

5. 已知抛物线 $y = x^2 - 2x - 8$ 与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心坐标；

（2）点 $P$ 是抛物线上的一个动点，当 $\angle PAB = 45^\circ$ 时，求点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，求 $\triangle PAB$ 的面积。

参考答案

1

（1）$y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$，顶点 $D(1,-4)$。令 $y=0$，$x^2-2x-3=0$，解得 $x_1=-1$，$x_2=3$，$A(-1,0)$，$B(3,0)$。

（2）$C(0,-3)$。$S_{四边形ABCD} = S_{\triangle AOC} + S_{梯形OCDD'} + S_{\triangle BDD'}$（$D'$ 为 $D$ 在 $x$ 轴投影），$S = \frac12 \times 1 \times 3 + \frac12 \times (3+4) \times 1 + \frac12 \times 2 \times 4 = 1.5 + 3.5 + 4 = 9$。

（3）对称轴 $x=1$，设 $P(1,t)$。$B(3,0)$，$C(0,-3)$。$BC = 3\sqrt{2}$。$PB^2 = (3-1)^2 + t^2 = 4 + t^2$，$PC^2 = 1^2 + (t+3)^2 = t^2 + 6t + 10$。

① $PB = PC$：$4 + t^2 = t^2 + 6t + 10$，$6t = -6$，$t = -1$，$P(1,-1)$。

② $PB = BC$：$4 + t^2 = 18$，$t^2 = 14$，$t = \pm \sqrt{14}$，$P(1,\sqrt{14})$ 或 $P(1,-\sqrt{14})$。

③ $PC = BC$：$t^2 + 6t + 10 = 18$，$t^2 + 6t - 8 = 0$，$t = -3 \pm \sqrt{17}$，$P(1,-3+\sqrt{17})$ 或 $P(1,-3-\sqrt{17})$。

综上，$P$ 点坐标为 $(1,-1)$，$(1,\sqrt{14})$，$(1,-\sqrt{14})$，$(1,-3+\sqrt{17})$，$(1,-3-\sqrt{17})$。

2.

（1）代入 $A(-1,0)$，$B(3,0)$ 得 $\begin{cases} a - b + 3 = 0 \\ 9a + 3b + 3 = 0 \end{cases}$，解得 $a = -1$，$b = 2$，$y = -x^2 + 2x + 3$。

（2）$C(0,3)$，$BC$ 方程 $y = -x + 3$。设 $P(m, -m^2+2m+3)$，$E(m, -m+3)$，$PE = (-m^2+2m+3) - (-m+3) = -m^2 + 3m = -(m-\frac32)^2 + \frac94$。当 $m = \frac32$ 时，$PE$ 最大 $\frac94$，$P(\frac32, \frac{15}{4})$。

（3）$S_{\triangle PBC} = \frac12 \cdot PE \cdot (x_B - x_C) = \frac12 \cdot PE \cdot 3 = \frac32 PE$，$PE$ 最大 $\frac94$，$S_{\triangle PBC}$ 最大 $\frac32 \times \frac94 = \frac{27}{8}$。

3.

（1）$y = x^2 - 4x + 3$，令 $y=0$，$x_1=1$，$x_2=3$，$A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,3)$。$S_{\triangle ABC} = \frac12 \times 2 \times 3 = 3$。

（2）设 $P(m, m^2-4m+3)$，$S_{\triangle PAB} = \frac12 \times 2 \times |m^2-4m+3| = |m^2-4m+3| = 3$。$m^2-4m+3 = 3$ 或 $m^2-4m+3 = -3$。前者 $m=0$ 或 $4$，$P(0,3)$（与 $C$ 重合舍）或 $P(4,3)$；后者无实根。$P(4,3)$。

（3）$P(4,3)$，$A(1,0)$，$B(3,0)$。$PA = \sqrt{(4-1)^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$，$PB = \sqrt{(4-3)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$，$AB = 2$。周长 $= 3\sqrt{2} + \sqrt{10} + 2$。

4.

（1）$y = -x^2 + 4x - 3 = -(x-2)^2 + 1$，顶点 $(2,1)$，对称轴 $x=2$。

（2）$A(1,0)$，$B(3,0)$，$C(0,-3)$。$A$ 关于对称轴 $x=2$ 的对称点为 $A'(3,0)$（即 $B$），连接 $A'C$ 与对称轴交点即为 $P$。$A'C$ 方程 $y = x - 3$，当 $x=2$ 时 $y=-1$，$P(2,-1)$。

$PA + PC = A'C = \sqrt{(3-0)^2 + (0+3)^2} = 3\sqrt{2}$。

5.

（1）$y = x^2 - 2x - 8$，$A(-2,0)$，$B(4,0)$，$C(0,-8)$。$\triangle ABC$ 为直角三角形？$AC^2 = 4+64=68$，$BC^2=16+64=80$，$AB^2=36$，$AC^2 + AB^2 = 68+36=104 \neq 80$，非直角。外接圆圆心为 $AB$ 中垂线 $x=1$ 与 $AC$ 中垂线交点。$AC$ 中点 $(-1,-4)$，斜率 $k_{AC} = \frac{-8-0}{0+2} = -4$，中垂线斜率 $\frac14$，方程 $y+4 = \frac14 (x+1)$。与 $x=1$ 联立得 $y+4 = \frac14 \times 2 = \frac12$，$y = -\frac72$。圆心 $(1, -\frac72)$。

（2）$A(-2,0)$，$B(4,0)$，$\angle PAB = 45^\circ$，则 $AP$ 斜率 $k = \tan 45^\circ = 1$ 或 $k = \tan 135^\circ = -1$。$AP$ 方程 $y = x+2$ 或 $y = -x-2$。与 $y = x^2 - 2x - 8$ 联立：$x+2 = x^2 - 2x - 8$，$x^2 - 3x - 10 = 0$，$x=5$ 或 $x=-2$（$A$ 点舍），$P(5,7)$。另一条：$-x-2 = x^2 - 2x - 8$，$x^2 - x - 6 = 0$，$x=3$ 或 $x=-2$（舍），$P(3,-5)$。综上 $P(5,7)$ 或 $P(3,-5)$。

（3）$P(5,7)$ 时，$S_{\triangle PAB} = \frac12 \times 6 \times 7 = 21$。$P(3,-5)$ 时，$S_{\triangle PAB} = \frac12 \times 6 \times 5 = 15$。