分式与分式方程检测试卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（每题3分，共24分）

1. 下列各式中，是分式的是（ ）

A. $\frac{x}{2}$    B. $\frac{2}{x}$    C. $\frac{x+y}{3}$    D. $\frac{3}{\pi}$

2. 若分式 $\frac{x-1}{x+2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（         ）

A. $x \neq 1$    B. $x \neq -2$    C. $x \neq 2$    D. $x \neq -1$

3. 若分式 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 的值为零，则 $x$ 的值为（         ）

A. $1$    B. $-1$    C. $\pm 1$    D. $0$

4. 下列分式中，是最简分式的是（ ）

A. $\frac{2x}{4y}$    B. $\frac{x^2-1}{x+1}$    C. $\frac{x+1}{x^2+1}$    D. $\frac{x^2}{xy}$

5. 计算 $\frac{a}{b} \div \frac{a^2}{b^2}$ 的结果是（         ）

A. $\frac{b}{a}$    B. $\frac{a}{b}$    C. $\frac{a^2}{b^2}$    D. $ab$

6. 计算 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的结果是（         ）

A. $\frac{2}{x+y}$    B. $\frac{x+y}{xy}$    C. $\frac{xy}{x+y}$    D. $\frac{1}{xy}$

7. 分式方程 $\frac{2}{x} = \frac{3}{x+1}$ 的解是（         ）

A. $x = 2$    B. $x = -2$    C. $x = 1$    D. $x = -1$

8. 若关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{x-2} = \frac{k}{x-2}$ 有增根，则 $k$ 的值为（         ）

A. $0$    B. $1$    C. $2$    D. $3$

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共38分）

15.（本题8分） 化简下列各式：

（1）$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}$

解：________________________________________

（2）$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b}$

解：________________________________________

16.（本题10分） 计算下列各式：

（1）$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{2-x}$

解：________________________________________

（2）$\left( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) \div \frac{a-b}{ab}$

解：________________________________________

17.（本题10分） 解下列分式方程：

（1）$\frac{3}{x} = \frac{2}{x-1}$

解：________________________________________

（2）$\frac{x}{x-3} - 2 = \frac{3}{x-3}$

解：________________________________________

18.（本题10分） 一项工程，甲队单独完成需要 10 天，乙队单独完成需要 15 天。若两队合作，需要多少天可以完成这项工程？

解：设两队合作需要 $x$ 天完成这项工程。

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答：两队合作需要 ______ 天完成这项工程。

参考答案

一、选择题（每题3分，共24分）

1. B（$\frac{2}{x}$ 分母中含有字母，是分式；$\frac{x}{2}$、$\frac{x+y}{3}$ 分母为常数，$\frac{3}{\pi}$ 中 $\pi$ 是常数，均不是分式。）

2. B（分式有意义需分母不为零，即 $x + 2 \neq 0$，解得 $x \neq -2$。）

3. B（分式值为零需分子为零且分母不为零。由 $x^2 - 1 = 0$ 得 $x = \pm 1$，当 $x = 1$ 时分母 $x - 1 = 0$，应舍去，所以 $x = -1$。）

4. C（A 可约分为 $\frac{x}{2y}$；B 可约分为 $x - 1$；D 可约分为 $\frac{x}{y}$；C 分子分母无公因式，是最简分式。）

5. A（$\frac{a}{b} \div \frac{a^2}{b^2} = \frac{a}{b} \times \frac{b^2}{a^2} = \frac{b}{a}$。）

6. B（$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$。）

7. A（去分母得 $2(x+1) = 3x$，解得 $x = 2$，检验：当 $x = 2$ 时，$x(x+1) \neq 0$，所以 $x = 2$ 是原方程的解。）

8. C（去分母得 $x = k$。原方程有增根，增根为 $x = 2$，所以 $k = 2$。）

二、填空题（每题3分，共18分）

9. $x \neq 5$（分母 $x - 5 \neq 0$，即 $x \neq 5$。）

10. $x = -2$（分子 $x + 2 = 0$ 得 $x = -2$，此时分母 $x - 3 = -5 \neq 0$，符合条件。）

11. $x + 2$（$\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x + 2$。）

12. $\frac{a}{2}$（$\frac{2}{a} \times \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4a} = \frac{a}{2}$。）

13. $\frac{1}{x}$（$\frac{3}{x} - \frac{2}{x} = \frac{3-2}{x} = \frac{1}{x}$。）

14. $x = 2$（去分母得 $x = 2(x-1)$，解得 $x = 2$，检验：当 $x = 2$ 时，$x(x-1) \neq 0$，所以 $x = 2$ 是原方程的解。）

三、解答题（共38分）

15.（本题8分）

（1）$\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{x-1}{x+1}$（4分）

（2）$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b} = \frac{a-b}{a-b} = 1$（4分）

16.（本题10分）

（1）$\frac{x}{x-2} + \frac{2}{2-x} = \frac{x}{x-2} - \frac{2}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} = 1$（5分）

（2）$\left( \frac{a}{b} - \frac{b}{a} \right) \div \frac{a-b}{ab} = \frac{a^2-b^2}{ab} \times \frac{ab}{a-b} = \frac{(a+b)(a-b)}{ab} \times \frac{ab}{a-b} = a + b$（5分）

17.（本题10分）

（1）$\frac{3}{x} = \frac{2}{x-1}$

解：去分母，得 $3(x-1) = 2x$（2分）

去括号，得 $3x - 3 = 2x$（1分）

解得 $x = 3$（1分）

检验：当 $x = 3$ 时，$x(x-1) = 3 \times 2 = 6 \neq 0$（1分）

所以，$x = 3$ 是原方程的解。（1分）

（2）$\frac{x}{x-3} - 2 = \frac{3}{x-3}$

去括号，得 $x - 2x + 6 = 3$（1分）

解：去分母，得 $x - 2(x-3) = 3$（2分）

解得 $x = 3$（1分）

检验：当 $x = 3$ 时，$x - 3 = 0$，所以 $x = 3$ 是增根，原方程无解。（1分）

18.（本题10分）

解：设两队合作需要 $x$ 天完成这项工程。（1分）

由题意，得 $\frac{x}{10} + \frac{x}{15} = 1$（3分）

去分母，得 $3x + 2x = 30$（2分）

合并同类项，得 $5x = 30$（1分）

解得 $x = 6$（1分）

检验：当 $x = 6$ 时，$30 \neq 0$，所以 $x = 6$ 是原方程的解。（1分）

答：两队合作需要 6 天完成这项工程。（1分）