一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（______）
A. 8 \sqrt{8} 8 B. 1 3 \sqrt{\frac{1}{3}} 3 1 C. 7 \sqrt{7} 7 D. 0.5 \sqrt{0.5} 0.5
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（______）
A. 1, 2, 3 B. 2, 3, 4 C. 3, 4, 5 D. 4, 5, 6
3. 在平行四边形ABCD中，∠ A = 50 ∘ \angle A = 50^\circ ∠ A = 5 0 ∘ ，则∠ C \angle C ∠ C 的度数是（______）
A. 40 ∘ 40^\circ 4 0 ∘ B. 50 ∘ 50^\circ 5 0 ∘ C. 130 ∘ 130^\circ 13 0 ∘ D. 150 ∘ 150^\circ 15 0 ∘
4. 下列函数中，是正比例函数的是（______）
A. y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y = 2 x + 1 B. y = 2 x y = \frac{2}{x} y = x 2 C. y = 2 x y = 2x y = 2 x D. y = 2 x 2 y = 2x^2 y = 2 x 2
5. 一次函数 y = − 3 x + 2 y = -3x + 2 y = − 3 x + 2 的图象不经过的象限是（______）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 数据 2, 4, 5, 4, 3 的众数是（______）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 计算 ( 3 ) 2 (\sqrt{3})^2 ( 3 ) 2 的结果是（______）
A. 3 B. 3 \sqrt{3} 3 C. 9 D. 1.5
8. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（______）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 16 \sqrt{16} 16 的算术平方根是 ______。
10. 使二次根式 x − 2 \sqrt{x-2} x − 2 有意义的 x x x 的取值范围是 ______。
11. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，∠ C = 90 ∘ \angle C=90^\circ ∠ C = 9 0 ∘ ，A B = 10 AB=10 A B = 10 ，B C = 6 BC=6 B C = 6 ，则 A C = AC= A C = ______。
12. 将直线 y = 2 x y = 2x y = 2 x 向上平移 3 个单位长度，得到直线的解析式为 ______。
13. 已知一组数据：1， 3， 5， x x x ， 7的平均数是4，则 x = x= x = ______。
14. 在 □ A B C D \square ABCD □ A B C D 中，若 A B = 5 AB=5 A B = 5 ， B C = 3 BC=3 B C = 3 ， 则它的周长是 ______。
三、计算题（共3小题，每小题6分，共18分）
15. 计算：12 − 3 + 1 3 \sqrt{12} - \sqrt{3} + \sqrt{\frac{1}{3}} 12 − 3 + 3 1 。
解：
16. 计算：( 5 + 2 ) ( 5 − 2 ) − ( 3 − 1 ) 2 (\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2) - (\sqrt{3} - 1)^2 ( 5 + 2 ) ( 5 − 2 ) − ( 3 − 1 ) 2 。
解：
17. 解方程：2 ( x − 1 ) 2 − 8 = 0 2(x-1)^2 - 8 = 0 2 ( x − 1 ) 2 − 8 = 0 。
解：
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知 y y y 是 x x x 的一次函数，当 x = 2 x=2 x = 2 时，y = 1 y=1 y = 1 ；当 x = − 1 x=-1 x = − 1 时，y = 7 y=7 y = 7 。
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）判断点 P ( 1 , − 1 ) P(1, -1) P ( 1 , − 1 ) 是否在这个函数的图象上。
解：（1）
（2）
19. 如图，在四边形 A B C D ABCD A B C D 中，A B = 3 AB=3 A B = 3 ， B C = 4 BC=4 B C = 4 ， C D = 12 CD=12 C D = 12 ， A D = 13 AD=13 A D = 13 ， ∠ B = 90 ∘ \angle B=90^\circ ∠ B = 9 0 ∘ 。求四边形 A B C D ABCD A B C D 的面积。
（说明：此处应有图形，但根据要求不生成图片，请根据文字描述解题。已知 ∠ B = 90 ∘ \angle B=90^\circ ∠ B = 9 0 ∘ ，连接 A C AC A C 。）
解：
20. 某校初二（1）班进行跳绳测试，第一小组6名同学的跳绳成绩（单位：次/分钟）如下：178， 165， 185， 170， 175， 180。
（1）求这组数据的中位数和平均数；
（2）学校规定170次/分钟为达标，该小组的达标率是多少？
解：（1）
（2）
五、综合题（共1小题，16分） 21. 已知：如图，在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，A B = A C AB=AC A B = A C ， A D AD A D 是 ∠ B A C \angle BAC ∠ B A C 的平分线，A N AN A N 是 △ A B C \triangle ABC △ A B C 外角 ∠ C A M \angle CAM ∠ C A M 的平分线，C E ⊥ A N CE \perp AN C E ⊥ A N ，垂足为点 E E E 。
（1）求证：四边形 A D C E ADCE A D C E 是矩形；
（2）当 △ A B C \triangle ABC △ A B C 满足什么条件时，四边形 A D C E ADCE A D C E 是一个正方形？并给出证明。
（说明：此处应有图形，但根据要求不生成图片，请根据文字描述解题。已知 A D AD A D 平分 ∠ B A C \angle BAC ∠ B A C ， A N AN A N 平分 ∠ C A M \angle CAM ∠ C A M ， C E ⊥ A N CE \perp AN C E ⊥ A N 。）
（1）证明：
（2）解：
参考答案及评分标准
一、选择题（每题3分，共24分） 1. C 2. C 3. B 4. C 5. C 6. C 7. A 8. C
二、填空题（每空3分，共18分） 9. 2 10. x ≥ 2 x \ge 2 x ≥ 2 11. 8 12. y = 2 x + 3 y = 2x + 3 y = 2 x + 3 13. 4 14. 16
三、计算题（每题6分，共18分） 15. 解：原式 = 2 3 − 3 + 3 3 = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = 2 3 − 3 + 3 3 …………（3分）
= 3 + 3 3 = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = 3 + 3 3 …………（5分）
= 4 3 3 = \frac{4\sqrt{3}}{3} = 3 4 3 …………（6分）
16. 解：原式 = ( 5 ) 2 − 2 2 − [ ( 3 ) 2 − 2 3 + 1 ] = (\sqrt{5})^2 - 2^2 - [(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1] = ( 5 ) 2 − 2 2 − [( 3 ) 2 − 2 3 + 1 ] …………（3分）
= 5 − 4 − ( 3 − 2 3 + 1 ) = 5 - 4 - (3 - 2\sqrt{3} + 1) = 5 − 4 − ( 3 − 2 3 + 1 ) …………（4分）
= 1 − ( 4 − 2 3 ) = 1 - (4 - 2\sqrt{3}) = 1 − ( 4 − 2 3 )
= 1 − 4 + 2 3 = 1 - 4 + 2\sqrt{3} = 1 − 4 + 2 3 …………（5分）
= − 3 + 2 3 = -3 + 2\sqrt{3} = − 3 + 2 3 …………（6分）
17. 解：2 ( x − 1 ) 2 = 8 2(x-1)^2 = 8 2 ( x − 1 ) 2 = 8 …………（1分）
( x − 1 ) 2 = 4 (x-1)^2 = 4 ( x − 1 ) 2 = 4 …………（2分）
x − 1 = 2 x-1 = 2 x − 1 = 2 或 x − 1 = − 2 x-1 = -2 x − 1 = − 2 …………（4分）
解得：x 1 = 3 x_1 = 3 x 1 = 3 ， x 2 = − 1 x_2 = -1 x 2 = − 1 …………（6分）
四、解答题（每题8分，共24分） 18. 解：（1）设一次函数解析式为 y = k x + b y = kx + b y = k x + b ( k ≠ 0 ) (k \ne 0) ( k = 0 ) 。
由题意得：{ 2 k + b = 1 − k + b = 7 \begin{cases} 2k + b = 1 \\ -k + b = 7 \end{cases} { 2 k + b = 1 − k + b = 7 …………（2分）
解得：{ k = − 2 b = 5 \begin{cases} k = -2 \\ b = 5 \end{cases} { k = − 2 b = 5 …………（4分）
∴ 一次函数解析式为 y = − 2 x + 5 y = -2x + 5 y = − 2 x + 5 。 …………（5分）
（2）当 x = 1 x = 1 x = 1 时，y = − 2 × 1 + 5 = 3 ≠ − 1 y = -2 \times 1 + 5 = 3 \ne -1 y = − 2 × 1 + 5 = 3 = − 1 。 …………（7分）
∴ 点 P ( 1 , − 1 ) P(1, -1) P ( 1 , − 1 ) 不在这个函数的图象上。 …………（8分）
19. 解：连接 A C AC A C 。
在 R t △ A B C Rt\triangle ABC R t △ A B C 中，∠ B = 90 ∘ \angle B=90^\circ ∠ B = 9 0 ∘ ，
由勾股定理得：A C = A B 2 + B C 2 = 3 2 + 4 2 = 5 AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 A C = A B 2 + B C 2 = 3 2 + 4 2 = 5 。 …………（3分）
在 △ A C D \triangle ACD △ A C D 中，A C 2 + C D 2 = 5 2 + 12 2 = 169 AC^2 + CD^2 = 5^2 + 12^2 = 169 A C 2 + C D 2 = 5 2 + 1 2 2 = 169 ， A D 2 = 13 2 = 169 AD^2 = 13^2 = 169 A D 2 = 1 3 2 = 169 ，
∴ A C 2 + C D 2 = A D 2 AC^2 + CD^2 = AD^2 A C 2 + C D 2 = A D 2 。
∴ △ A C D \triangle ACD △ A C D 是直角三角形，且 ∠ A C D = 90 ∘ \angle ACD = 90^\circ ∠ A C D = 9 0 ∘ 。 …………（6分）
∴ S 四边形 A B C D = S △ A B C + S △ A C D = 1 2 × 3 × 4 + 1 2 × 5 × 12 = 6 + 30 = 36 S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 + \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 6 + 30 = 36 S 四边形 A B C D = S △ A B C + S △ A C D = 2 1 × 3 × 4 + 2 1 × 5 × 12 = 6 + 30 = 36 。 …………（8分）
20. 解：（1）将数据从小到大排列：165， 170， 175， 178， 180， 185。
中位数是 175 + 178 2 = 176.5 \frac{175+178}{2} = 176.5 2 175 + 178 = 176.5 （次/分钟）。 …………（2分）
平均数是 178 + 165 + 185 + 170 + 175 + 180 6 = 1053 6 = 175.5 \frac{178+165+185+170+175+180}{6} = \frac{1053}{6} = 175.5 6 178 + 165 + 185 + 170 + 175 + 180 = 6 1053 = 175.5 （次/分钟）。 …………（4分）
（2）数据中大于或等于170的有5个， …………（6分）
达标率为 5 6 × 100 % ≈ 83.3 % \frac{5}{6} \times 100\% \approx 83.3\% 6 5 × 100% ≈ 83.3% 。 …………（8分）
五、综合题（16分） 21. （1）证明：∵ A B = A C AB=AC A B = A C ， A D AD A D 平分 ∠ B A C \angle BAC ∠ B A C ，
∴ A D ⊥ B C AD \perp BC A D ⊥ B C ， ∠ B A D = ∠ C A D \angle BAD = \angle CAD ∠ B A D = ∠ C A D 。 …………（2分）
∴ ∠ A D C = 90 ∘ \angle ADC = 90^\circ ∠ A D C = 9 0 ∘ 。
∵ A N AN A N 平分 ∠ C A M \angle CAM ∠ C A M ， ∠ B A C + ∠ C A M = 180 ∘ \angle BAC + \angle CAM = 180^\circ ∠ B A C + ∠ C A M = 18 0 ∘ ，
∴ ∠ C A D + ∠ C A N = 1 2 ( ∠ B A C + ∠ C A M ) = 90 ∘ \angle CAD + \angle CAN = \frac{1}{2}(\angle BAC + \angle CAM) = 90^\circ ∠ C A D + ∠ C A N = 2 1 ( ∠ B A C + ∠ C A M ) = 9 0 ∘ 。 …………（4分）
∴ ∠ D A C + ∠ C A N = 90 ∘ \angle DAC + \angle CAN = 90^\circ ∠ D A C + ∠ C A N = 9 0 ∘ ，即 ∠ D A N = 90 ∘ \angle DAN = 90^\circ ∠ D A N = 9 0 ∘ 。
又 ∵ C E ⊥ A N CE \perp AN C E ⊥ A N ，
∴ ∠ A E C = 90 ∘ \angle AEC = 90^\circ ∠ A E C = 9 0 ∘ 。 …………（6分）
∴ 四边形 A D C E ADCE A D C E 中有三个角是直角。
∴ 四边形 A D C E ADCE A D C E 是矩形。 …………（8分）
（2）解：当 △ A B C \triangle ABC △ A B C 是等腰直角三角形（或 ∠ B A C = 90 ∘ \angle BAC = 90^\circ ∠ B A C = 9 0 ∘ ）时，四边形 A D C E ADCE A D C E 是一个正方形。 …………（10分）
证明：∵ △ A B C \triangle ABC △ A B C 是等腰直角三角形，A B = A C AB=AC A B = A C ， ∠ B A C = 90 ∘ \angle BAC = 90^\circ ∠ B A C = 9 0 ∘ ，
又 ∵ A D AD A D 平分 ∠ B A C \angle BAC ∠ B A C ，
∴ A D ⊥ B C AD \perp BC A D ⊥ B C 且 A D = 1 2 B C = B D = C D AD = \frac{1}{2}BC = BD = CD A D = 2 1 B C = B D = C D （直角三角形斜边中线性质）。 …………（13分）
由（1）知四边形 A D C E ADCE A D C E 是矩形，
∴ 矩形 A D C E ADCE A D C E 有一组邻边相等（A D = D C AD = DC A D = D C ）。
∴ 四边形 A D C E ADCE A D C E 是正方形。 …………（16分）
（注：若只答出 ∠ B A C = 90 ∘ \angle BAC = 90^\circ ∠ B A C = 9 0 ∘ ，并给出类似证明，同样给分。）