长春市初中毕业生学业考试数学模拟试卷

14. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ $(a>0)$ 经过点 $(1, 0)$ 和 $(3, 0)$。当 $-1 \le x \le 2$ 时，$y$ 的取值范围是 $-\frac{9}{4} \le y \le 4$，则 $a$ 的值为 ______。

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15. （6分）先化简，再求值：$(x+2)^2 - (x+1)(x-1)$，其中 $x = \frac{1}{2}$。

解：

16. （6分）一个不透明的口袋中装有 $3$ 个红球和 $1$ 个白球，这些球除颜色外无其他差别。随机从口袋中摸出两个球，请用画树状图或列表的方法，求摸出的两个球都是红球的概率。

解：

17. （6分）2024年是中国航天的重要一年。某校为普及航天知识，对全校学生进行了航天知识测试，并从七、八年级各随机抽取了 $20$ 名学生的成绩（满分 $100$ 分）进行整理分析，部分信息如下：

七年级抽取学生成绩：$68, 70, 72, 75, 78, 80, 82, 85, 85, 86, 87, 88, 88, 90, 92, 93, 95, 96, 98, 100$。

八年级抽取学生成绩的平均数为 $85$ 分。

七、八年级抽取学生成绩的统计表：

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：$a =$ ______，$b =$ ______；

（2）你认为哪个年级学生对航天知识的掌握更好？请说明理由（一条即可）；

（3）若该校七年级有 $500$ 人，八年级有 $480$ 人，请估计七、八年级成绩不低于 $90$ 分的学生总人数。

解：（1）

（2）

（3）

18. （7分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是 $BC$ 边上的中线，$E$ 是 $AD$ 上一点，过点 $B$ 作 $BF \parallel AC$，交 $CE$ 的延长线于点 $F$。

（1）求证：$\triangle BDE \cong \triangle CDA$；

（2）若 $AD = 2CD$，求证：四边形 $AFBC$ 是矩形。

证明：（1）

（2）

19. （7分）图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $AB$ 的端点均在格点上。在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留必要的作图痕迹。

（1）在图①中，以 $AB$ 为边画一个等腰直角三角形 $ABC$；

（2）在图②中，以 $AB$ 为边画一个面积为 $5$ 的平行四边形 $ABDE$；

（3）在图③中，在线段 $AB$ 上找一点 $P$，使 $\frac{AP}{BP} = \frac{2}{3}$。

（网格示意图请用文字描述：每个网格由横纵各5条等距平行线构成，点A、B位于网格线上。）

解：

20. （7分）近年来，长春市大力发展新能源汽车产业。某汽车公司计划生产 $A$、$B$ 两种型号的新能源汽车，已知生产 $1$ 台 $A$ 型车和 $2$ 台 $B$ 型车需成本 $50$ 万元，生产 $2$ 台 $A$ 型车和 $1$ 台 $B$ 型车需成本 $40$ 万元。

（1）求生产每台 $A$ 型车、$B$ 型车的成本各是多少万元；

（2）该公司计划生产 $A$、$B$ 两种型号的汽车共 $100$ 台投放市场。经市场调研，$A$ 型车的售价为 $20$ 万元/台，$B$ 型车的售价为 $15$ 万元/台。若总成本不超过 $1250$ 万元，且全部售出后总利润不低于 $550$ 万元，请问有哪几种生产方案？

解：（1）

（2）

21. （8分）小明家所在居民楼前方有一棵大树。一天，小明想测量这棵树的高度。他先站在居民楼 $C$ 处，从窗口测得树顶 $A$ 的仰角 $\angle ACB = 30^\circ$；然后他向树的方向走了 $20$ 米到达点 $D$ 处（$B, C, D$ 在同一直线上），此时测得树顶 $A$ 的仰角 $\angle ADB = 45^\circ$