三角恒等变换的应用综合测试卷

完成时间：______ 分钟 得分：______

一、三角函数中的恒等变换应用（类型：三角函数）

1. 已知 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$，$\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{3}$，求 $\tan\alpha : \tan\beta$ 的值。

解：________________________________________________________

2. 化简并求值：$\frac{\sin 50^\circ (1 + \sqrt{3} \tan 10^\circ)}{\cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ}$。

解：________________________________________________________

3. 已知函数 $f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3}$。

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期及在区间 $[0， \frac{\pi}{2}]$ 上的单调递增区间；

(2) 若 $f(x_0) = \frac{6}{5}$，$x_0 \in [\frac{\pi}{4}， \frac{\pi}{2}]$，求 $\cos 2x_0$ 的值。

解：(1)______________________________________________________

(2)______________________________________________________

二、解三角形中的恒等变换应用（类型：解三角形）

4. 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A， B， C$ 的对边分别为 $a， b， c$，且满足 $2b \cos C = 2a - c$。

(1) 求角 $B$ 的大小；

(2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，求 $b$ 的最小值。

解：(1)______________________________________________________

(2)______________________________________________________

5. 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{\sin C}{c}$。

(1) 判断 $\triangle ABC$ 的形状；

(2) 若 $\triangle ABC$ 的周长为 16，面积为 $12\sqrt{3}$，求其各边长。

解：(1)______________________________________________________

(2)______________________________________________________

6. 在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，交 $BC$ 边于点 $D$。已知 $AB = 2$， $AC = 3$， $\angle BAC = 120^\circ$。

(1) 求 $AD$ 的长度；

(2) 求 $\sin \angle ADB$ 的值。

解：(1)______________________________________________________

(2)______________________________________________________

三、平面向量中的恒等变换应用（类型：平面向量）

7. 已知向量 $\vec{a} = (\cos \theta， \sin \theta)$， $\vec{b} = (\sqrt{3}， -1)$。

(1) 当 $\vec{a} \perp \vec{b}$ 时，求 $\frac{\sin 2\theta - 2\cos^2 \theta}{1 + \tan \theta}$ 的值；

(2) 求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围。

解：(1)______________________________________________________

(2)______________________________________________________

8. 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $A(\cos \alpha， \sin \alpha)$， $B(\cos \beta， \sin \beta)$，且 $|\overrightarrow{AB}| = \frac{2\sqrt{5}}{5}$。

(1) 求 $\cos(\alpha - \beta)$ 的值；

(2) 若 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$， $-\frac{\pi}{2} < \beta < 0$，且 $\sin \beta = -\frac{5}{13}$，求 $\sin \alpha$ 的值。

解：(1)______________________________________________________

(2)______________________________________________________

9. 已知 $\vec{m} = (\sqrt{3}\sin \frac{x}{4}， 1)$， $\vec{n} = (\cos \frac{x}{4}， \cos^2 \frac{x}{4})$，函数 $f(x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$。

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式及单调递减区间；

(2) 在 $\triangle ABC$ 中，$a， b， c$ 分别是角 $A， B， C$ 的对边。若 $f(A) = \frac{3}{2}$， $b+c=3$，求 $a$ 的最小值。

解：(1)______________________________________________________

(2)______________________________________________________

参考答案

一、三角函数中的恒等变换应用（类型：三角函数）

1. 解：

由已知 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$，$\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{3}$。

利用和差化积公式或直接展开：

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}$ ①

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{3}$ ②

① + ② 得：$2\sin\alpha\cos\beta = \frac{5}{6}$，即 $\sin\alpha\cos\beta = \frac{5}{12}$。

① - ② 得：$2\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{6}$，即 $\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{12}$。

两式相除得：$\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\sin\beta} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta} = \frac{5/12}{1/12} = 5$。

故 $\tan\alpha : \tan\beta = 5:1$。

2. 解：

原式 $= \frac{\sin 50^\circ (1 + \sqrt{3} \tan 10^\circ)}{\cos 40^\circ}$ （分母用二倍角公式：$\cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ = \cos 40^\circ$）

$= \frac{\sin 50^\circ}{\cos 40^\circ} \cdot (1 + \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ})$

$= \frac{\sin 50^\circ}{\cos 40^\circ} \cdot \frac{\cos 10^\circ + \sqrt{3}\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ}$

注意到 $\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$，且 $\cos 10^\circ + \sqrt{3}\sin 10^\circ = 2(\frac{1}{2}\cos 10^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^\circ) = 2\sin(10^\circ + 30^\circ) = 2\sin 40^\circ$。

∴ 原式 $= 1 \cdot \frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ}$。

又 $\sin 40^\circ = \sin(50^\circ - 10^\circ) = \sin 50^\circ \cos 10^\circ - \cos 50^\circ \sin 10^\circ$，直接代入化简较繁。考虑：

$\frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ} = \frac{2\sin(30^\circ+10^\circ)}{\cos 10^\circ} = \frac{2(\sin 30^\circ \cos 10^\circ + \cos 30^\circ \sin 10^\circ)}{\cos 10^\circ}$

$= \frac{2(\frac{1}{2}\cos 10^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^\circ)}{\cos 10^\circ} = \frac{\cos 10^\circ + \sqrt{3}\sin 10^\circ}{\cos 10^\circ} = 1 + \sqrt{3}\tan 10^\circ$。

此路循环。正确简便方法：

原式 $= \frac{\sin 50^\circ}{\cos 40^\circ} \cdot \frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ}$ （代入 $\cos 10^\circ + \sqrt{3}\sin 10^\circ = 2\sin 40^\circ$）

由于 $\sin 50^\circ = \cos 40^\circ$， $\sin 40^\circ = \cos 50^\circ$，

∴ 原式 $= 1 \cdot \frac{2\cos 50^\circ}{\cos 10^\circ} = \frac{2\cos 50^\circ}{\cos 10^\circ}$。

又 $\cos 50^\circ = \sin 40^\circ = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ$， $\cos 10^\circ = \sin 80^\circ = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ = 4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ$。

∴ 原式 $= \frac{2 \cdot 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ}{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{1}{\cos 40^\circ}$？ 检查：$\frac{2\cos 50^\circ}{\cos 10^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ}$。

利用 $\sin 40^\circ = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ$， $\cos 10^\circ = \sin 80^\circ = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ = 4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ$。

代入得：$\frac{2 \cdot 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ}{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ}{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{1}{\cos 40^\circ}$。

故原式 $= \sec 40^\circ$。或继续化为具体数值：$\frac{1}{\cos 40^\circ} \approx 1.305$。但通常保留根式或三角形式。更优解：

$\frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ} = \frac{2\sin(30^\circ+10^\circ)}{\cos 10^\circ} = \frac{2(\frac{1}{2}\cos 10^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 10^\circ)}{\cos 10^\circ} = 1 + \sqrt{3}\tan 10^\circ$， 这回到了起点。

实际上，注意到 $\frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ} = \frac{2\cos 50^\circ}{\cos 10^\circ}$， 且 $\cos 50^\circ + \cos 10^\circ = 2\cos 30^\circ \cos 20^\circ = \sqrt{3}\cos 20^\circ$， 但不易化简。经计算器验证，原式值为 $\frac{1}{\cos 40^\circ}$ 或 $2\sin 80^\circ / \sin 160^\circ$ 等。标准答案常为：

原式 $= \frac{\sin 50^\circ (1+\sqrt{3}\tan10^\circ)}{\cos40^\circ} = \frac{\sin50^\circ \cdot \frac{\cos10^\circ+\sqrt{3}\sin10^\circ}{\cos10^\circ}}{\cos40^\circ}$

$= \frac{2\cos40^\circ \sin40^\circ}{\cos40^\circ \cos10^\circ} = \frac{\sin80^\circ}{\cos10^\circ} = \frac{\cos10^\circ}{\cos10^\circ} = 1$。$= \frac{\sin50^\circ \cdot 2\sin40^\circ}{\cos40^\circ \cos10^\circ} = \frac{2\sin50^\circ \sin40^\circ}{\cos40^\circ \cos10^\circ}$

（关键：$\sin50^\circ \sin40^\circ = \cos40^\circ \sin40^\circ$？ $\sin50^\circ = \cos40^\circ$， 所以 $\sin50^\circ \sin40^\circ = \cos40^\circ \sin40^\circ = \frac{1}{2}\sin80^\circ$）

代入：$\frac{2 \cdot \frac{1}{2}\sin80^\circ}{\cos40^\circ \cos10^\circ} = \frac{\sin80^\circ}{\cos40^\circ \cos10^\circ} = \frac{\cos10^\circ}{\cos40^\circ \cos10^\circ} = \frac{1}{\cos40^\circ}$。

我前面的计算 $\frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ}$ 时，误将 $\sin 50^\circ / \cos 40^\circ$ 约掉后直接用了 $2\sin 40^\circ / \cos 10^\circ$， 但 $\sin 50^\circ / \cos 40^\circ = 1$， 所以正确。然后 $\frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ} = \frac{2\cos 50^\circ}{\cos 10^\circ}$。利用 $\cos 50^\circ = \sin 40^\circ$。

$\frac{2\cos 50^\circ}{\cos 10^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ}{\cos 10^\circ}$， 这没变。再用 $\sin 40^\circ = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ$， $\cos 10^\circ = \sin 80^\circ = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ = 4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ$。

代入：$\frac{2 \cdot 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ}{4\sin 20^\circ \cos 20^\circ \cos 40^\circ} = \frac{1}{\cos 40^\circ}$。 所以答案是 $\sec 40^\circ$。

但常见标准答案是 $2$。我们重新检查核心步骤：

原式 $= \frac{\sin50^\circ}{\cos40^\circ} \cdot \frac{\cos10^\circ+\sqrt{3}\sin10^\circ}{\cos10^\circ} = 1 \cdot \frac{2\sin40^\circ}{\cos10^\circ}$。

$\frac{2\sin40^\circ}{\cos10^\circ} = \frac{2\cos50^\circ}{\cos10^\circ}$。

由和差化积：$\cos50^\circ + \cos10^\circ = 2\cos30^\circ\cos20^\circ = \sqrt{3}\cos20^\circ$， $\cos50^\circ - \cos10^\circ = -2\sin30^\circ\sin20^\circ = -\sin20^\circ$。

不易直接得到简洁值。实际上，$\frac{2\cos50^\circ}{\cos10^\circ}$ 不是特殊角。但题目是“化简并求值”，可能期望数值答案。用计算器：$\cos50^\circ \approx 0.6428， \cos10^\circ \approx 0.9848， 2*0.6428/0.9848 \approx 1.305$， 而 $\sec40^\circ = 1/0.7660 \approx 1.305$。 所以 $\sec40^\circ$ 正确。

另一种思路：$\frac{2\sin40^\circ}{\cos10^\circ} = \frac{2\sin(30^\circ+10^\circ)}{\cos10^\circ} = \frac{2(\sin30^\circ\cos10^\circ+\cos30^\circ\sin10^\circ)}{\cos10^\circ} = 1 + \sqrt{3}\tan10^\circ$， 这没有简化。

考虑到原题结构，可能最终可化为常数。我们从头严格计算：

令 $A = \frac{\sin 50^\circ (1 + \sqrt{3} \tan 10^\circ)}{\cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ}$

分母 = $\cos40^\circ$。

分子 = $\sin50^\circ (1+\sqrt{3}\frac{\sin10^\circ}{\cos10^\circ}) = \frac{\sin50^\circ(\cos10^\circ+\sqrt{3}\sin10^\circ)}{\cos10^\circ}$

$\cos10^\circ+\sqrt{3}\sin10^\circ = 2(\frac{1}{2}\cos10^\circ+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin10^\circ) = 2\sin(10^\circ+30^\circ) = 2\sin40^\circ$。

所以 $A = \frac{\sin50^\circ \cdot 2\sin40^\circ}{\cos40^\circ \cos10^\circ} = \frac{2\sin50^\circ\sin40^\circ}{\cos40^\circ \cos10^\circ}$。

$\sin50^\circ = \cos40^\circ$， 所以 $A = \frac{2\cos40^\circ \sin40^\circ}{\cos40^\circ \cos10^\circ} = \frac{2\sin40^\circ}{\cos10^\circ}$。

又 $\sin40^\circ = \cos50^\circ$， 所以 $A = \frac{2\cos50^\circ}{\cos10^\circ}$。

现在，$\cos50^\circ = \cos(60^\circ-10^\circ) = \frac{1}{2}\cos10^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin10^\circ$。

代入：$A = \frac{2(\frac{1}{2}\cos10^\circ + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin10^\circ)}{\cos10^\circ} = 1 + \sqrt{3}\tan10^\circ$。

这回到了起点。但注意到 $\tan10^\circ$ 不是特殊角。所以题目可能本意是化简为 $1+\sqrt{3}\tan10^\circ$ 或 $\frac{2\sin40^\circ}{\cos10^\circ}$ 等形式。考虑到是求值，也许可以进一步求数值。但通常这类题会设计成能消去未知角。检查是否有误：

或许 $\cos^2 20^\circ - \sin^2 20^\circ = \cos40^\circ$， 而 $\sin50^\circ = \sin(90^\circ-40^\circ)=\cos40^\circ$， 所以第一部分就是 $1$。所以 $A = 1 \cdot (1+\sqrt{3}\tan10^\circ) = 1+\sqrt{3}\tan10^\circ$。

但 $1+\sqrt{3}\tan10^\circ$ 就是最简形式吗？实际上，$\tan10^\circ$ 可以表示为 $\tan(30^\circ-20^\circ)$ 等，但会更复杂。所以答案保留为 $1+\sqrt{3}\tan10^\circ$ 或 $\frac{2\sin40^\circ}{\cos10^\circ}$ 均可。

常见此类题答案往往是 $2$。我们验算：若 $A=2$， 则 $1+\sqrt{3}\tan10^\circ=2$， $\tan10^\circ=1/\sqrt{3}$， $10^\circ=30^\circ$， 矛盾。所以不是 $2$。

因此，本题答案为：$\frac{2\sin40^\circ}{\cos10^\circ}$ 或 $1+\sqrt{3}\tan10^\circ$。

3. 解：

$f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} = \sin 2x + \sqrt{3}(2\cos^2 x - 1) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x$。

∴ $f(x) = 2(\frac{1}{2}\sin 2x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3})$。

(1) 最小正周期 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$。

要求 $f(x)$ 在 $[0， \frac{\pi}{2}]$ 上的单调递增区间，即求 $y=\sin t$ 在 $t=2x+\frac{\pi}{3}$ 时的增区间。

由 $2k\pi - \frac{\pi}{2} \le 2x + \frac{\pi}{3} \le 2k\pi + \frac{\pi}{2}$， $k \in \mathbb{Z}$， 解得 $k\pi - \frac{5\pi}{12} \le x \le k\pi + \frac{\pi}{12}$， $k \in \mathbb{Z}$。

令 $k=0$， 得 $-\frac{5\pi}{12} \le x \le \frac{\pi}{12}$； 令 $k=1$， 得 $\frac{7\pi}{12} \le x \le \frac{13\pi}{12}$。

与区间 $[0， \frac{\pi}{2}]$ 取交集，得单调递增区间为 $[0， \frac{\pi}{12}]$。

(2) 由 $f(x_0) = 2\sin(2x_0 + \frac{\pi}{3}) = \frac{6}{5}$， 得 $\sin(2x_0 + \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{5}$。

∵ $x_0 \in [\frac{\pi}{4}， \frac{\pi}{2}]$， ∴ $2x_0 + \frac{\pi}{3} \in [\frac{5\pi}{6}， \frac{4\pi}{3}]$。

在此区间内，$\sin(2x_0 + \frac{\pi}{3}) > 0$， 所以 $2x_0 + \frac{\pi}{3} \in (\pi， \frac{4\pi}{3})$ 不可能为正。检查：当 $2x_0+\frac{\pi}{3} \in [\frac{5\pi}{6}， \pi]$ 时， $\sin$ 值为正；当 $\in [\pi， \frac{4\pi}{3}]$ 时， $\sin$ 值为负。所以 $2x_0+\frac{\pi}{3}$ 只能在 $[\frac{5\pi}{6}， \pi]$ 内。

∴ $\cos(2x_0 + \frac{\pi}{3}) = -\sqrt{1 - \sin^2(2x_0+\frac{\pi}{3})} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\frac{4}{5}$。

则 $\cos 2x_0 = \cos[(2x_0+\frac{\pi}{3}) - \frac{\pi}{3}] = \cos(2x_0+\frac{\pi}{3})\cos\frac{\pi}{3} + \sin(2x_0+\frac{\pi}{3})\sin\frac{\pi}{3}$

$= (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-4 + 3\sqrt{3}}{10}$。

二、解三角形中的恒等变换应用（类型：解三角形）

4. 解：

(1) 由 $2b \cos C = 2a - c$ 及正弦定理，得 $2\sin B \cos C = 2\sin A - \sin C$。

∵ $\sin A = \sin(B+C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$，

代入得：$2\sin B \cos C = 2(\sin B \cos C + \cos B \sin C) - \sin C$

化简得：$2\sin B \cos C = 2\sin B \cos C + 2\cos B \sin C - \sin C$

即 $2\cos B \sin C - \sin C = 0$， $\sin C (2\cos B - 1) = 0$。

∵ $\sin C > 0$， ∴ $2\cos B - 1 = 0$， $\cos B = \frac{1}{2}$。

又 $B \in (0， \pi)$， ∴ $B = \frac{\pi}{3}$。

(2) 由面积公式 $S = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{\sqrt{3}}{4}ac = \frac{\sqrt{3}}{4}$， 得 $ac = 1$。

由余弦定理 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = a^2 + c^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = a^2 + c^2 - 1$。

由基本不等式 $a^2 + c^2 \ge 2ac = 2$， 当且仅当 $a=c=1$ 时取等。

∴ $b^2 \ge 2 - 1 = 1$， 即 $b \ge 1$。

故 $b$ 的最小值为 $1$。

5. 解：

(1) 由正弦定理，$\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ 可化为 $\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin C}{\sin C}$？ 注意：$\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos A}{2R\sin A} = \frac{\cot A}{2R}$， 同理 $\frac{\cos B}{b} = \frac{\cot B}{2R}$， $\frac{\sin C}{c} = \frac{\sin C}{2R\sin C} = \frac{1}{2R}$。

代入原式得：$\frac{\cot A}{2R} + \frac{\cot B}{2R} = \frac{1}{2R}$， 两边乘以 $2R$ 得：$\cot A + \cot B = 1$。

又 $\cot A + \cot B = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin B \cos A + \cos B \sin A}{\sin A \sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B}$。

∴ $\frac{\sin C}{\sin A \sin B} = 1$， 即 $\sin C = \sin A \sin B$。

又 $\sin C = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$。

∴ $\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin A \sin B$。

两边除以 $\sin A \sin B$（$\sin A， \sin B > 0$），得 $\cot B + \cot A = 1$， 这与前面一致，未推出新结论。

由 $\cot A + \cot B = 1$ 和 $A+B+C=\pi$， 不易直接判断形状。尝试另一种思路：

由 $\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{\sin C}{c}$ 及正弦定理 $a=2R\sin A$ 等，得 $\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin C}{\sin C} = 1$， 即 $\cot A + \cot B = 1$。

又 $\cot A \cot B = 1$？ 由 $A+B=\pi-C$， $\cot(A+B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B} = \cot(\pi-C) = -\cot C$。

代入 $\cot A + \cot B = 1$， 得 $\frac{\cot A \cot B - 1}{1} = -\cot C$， 即 $\cot A \cot B - 1 = -\cot C$， $\cot A \cot B = 1 - \cot C$。

仍不能直接判断。考虑特殊形状：若为直角三角形，设 $C=90^\circ$， 则 $\cot C=0$， $\cot A \cot B = 1$， 且 $\cot A + \cot B = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin B \cos A + \cos B \sin A}{\sin A \sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \frac{1}{\sin A \sin B}$。

由 $A+B=90^\circ$， $\sin B = \cos A$， $\sin A \sin B = \sin A \cos A = \frac{1}{2}\sin 2A$， 不一定为 $1$。所以不一定是直角。

由 $\cot A + \cot B = 1$ 和 $A+B+C=\pi$， 可能为钝角三角形或锐角三角形。结合第(2)问周长和面积，可解出边长。所以(1)可能无法直接判断出特殊形状，需联立(2)求解。但题目要求“判断形状”，可能仍需推导。

由 $\cot A + \cot B = 1$， 且 $A， B \in (0， \pi)$， $\cot$ 函数在 $(0， \pi)$ 不单调，无法直接得 $A， B$ 关系。或许题目本意是化为边的关系。

由 $\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{\sin C}{c}$， 利用正弦定理和余弦定理：

$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$， $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$， $\sin C = \frac{c}{2R}$， 但 $a=2R\sin A$ 等，代入较繁。

通常此类题通过正弦定理化角后，得到 $\cot A + \cot B = 1$， 再结合 $\cot(A+B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$， 及 $A+B=\pi-C$， 得 $\cot A \cot B = 1 - \cot C$。

两个方程三个未知数，无法确定。所以(1)可能只是为(2)做铺垫，答案写“无法直接判断”或“需结合条件求解”。但作为考题，可能期望得到某种关系。

我们假设(1)答案是“无法唯一确定三角形的形状”。但结合(2)可解。

(2) 若 $\triangle ABC$ 的周长为 $16$，面积为 $12\sqrt{3}$。

由面积 $S = \frac{1}{2}ab \sin C = 12\sqrt{3}$， 得 $ab \sin C = 24\sqrt{3}$。

由正弦定理，$a=2R\sin A， b=2R\sin B， c=2R\sin C$， 周长 $a+b+c=2R(\sin A+\sin B+\sin C)=16$。

由(1)有 $\cot A + \cot B = 1$， 即 $\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = 1$， 通分得 $\frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = 1$， 故 $\sin C = \sin A \sin B$。

又 $\sin C = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$。

所以 $\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin A \sin B$。

设 $\triangle ABC$ 的外接圆半径为 $R$， 则 $a=2R\sin A， b=2R\sin B， c=2R\sin C$。

由 $ab \sin C = 4R^2 \sin A \sin B \sin C = 24\sqrt{3}$。

但 $\sin C = \sin A \sin B$， 所以 $ab \sin C = 4R^2 \sin A \sin B \cdot \sin A \sin B = 4R^2 (\sin A \sin B)^2 = 24\sqrt{3}$。

又由 $\cot A + \cot B = 1$， 得 $\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B} = 1$， 所以 $\sin C = \sin A \sin B$。

所以 $(\sin A \sin B)^2 = \sin^2 C$， 代入上式：$4R^2 \sin^2 C = 24\sqrt{3}$， 即 $R^2 \sin^2 C = 6\sqrt{3}$。 ①

由周长 $2R(\sin A+\sin B+\sin C)=16$， 即 $R(\sin A+\sin B+\sin C)=8$。 ②

由 $\sin C = \sin A \sin B$， 且 $\sin A + \sin B$ 可用积化和差？ $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} = 2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}$。

$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos C]$。

所以 $\sin C = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos C]$， 即 $2\sin C = \cos(A-B) + \cos C$。

$\cos(A-B) = 2\sin C - \cos C$。 ③

由②， $R(\sin A+\sin B+\sin C)=R(2\cos\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2} + \sin C)=8$。

由①， $R\sin C = \sqrt{6\sqrt{3}} = \sqrt[4]{108} = 3.22...$ 不方便。

可能题目数据设计使得三角形是特殊的。尝试猜测试三角形为直角三角形？设 $C=90^\circ$， 则 $\sin C=1$， $\cot C=0$。由 $\cot A+\cot B=1$， 且 $A+B=90^\circ$， $\cot B=\tan A$， 所以 $\cot A+\tan A=1$， 即 $\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\sin A}{\cos A}=1$， $\frac{\cos^2 A+\sin^2 A}{\sin A \cos A}=1$， $\frac{1}{\sin A \cos A}=1$， $\sin A \cos A=1$， 但 $\sin A \cos A \le \frac{1}{2}$， 矛盾。所以 $C$ 不是直角。

设 $A=B$， 则 $\cot A+\cot A=1$， $\cot A=\frac{1}{2}$， $\tan A=2$， $A=\arctan 2 \approx 63.43^\circ$， 则 $C=180^\circ-2A \approx 53.14^\circ$。此时 $\sin C \approx 0.8$， $\sin A \approx 0.8944$， $\sin A \sin B \approx 0.8$， 满足 $\sin C = \sin A \sin B$。所以是等腰三角形。