七年级下学期数学期末考试卷（人教版）

（满分：100分 考试时间：90分钟）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

注意事项：

1. 答题前，请将姓名、学号、班级填写清楚。

2. 选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡指定位置；非选择题请用黑色签字笔在试卷指定区域作答。

3. 保持卷面整洁，书写工整。

4. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列各数中，是无理数的是（______）

A. $\frac{22}{7}$ B. $3.14$ C. $\sqrt{9}$ D. $\pi$

2. 在平面直角坐标系中，点 $P(-3, 2)$ 位于（______）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（______）

A. 了解某批次灯泡的使用寿命 B. 了解全国中学生的视力情况

C. 检测“神舟”飞船的零部件质量 D. 了解某条河流的水质情况

4. 不等式 $2x - 5 > 3$ 的解集在数轴上表示为（______）

A. 空心圈，向右 B. 实心点，向右 C. 空心圈，向左 D. 实心点，向左

5. 已知 $\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ 是二元一次方程 $kx - y = 3$ 的一个解，则 $k$ 的值为（______）

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

6. 如图（示意），直线 $a \parallel b$，$\angle 1 = 55^\circ$，则 $\angle 2$ 的度数为（______）

A. $35^\circ$ B. $45^\circ$ C. $55^\circ$ D. $125^\circ$

7. 已知 $a < b$，则下列不等式变形正确的是（______）

A. $a + 2 > b + 2$ B. $-\frac{a}{3} < -\frac{b}{3}$ C. $3a - 1 > 3b - 1$ D. $-2a > -2b$

8. 一个正数的两个平方根分别是 $2a-1$ 和 $-a+2$，则这个正数是（______）

A. $1$ B. $3$ C. $9$ D. $81$

9. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”设鸡有 $x$ 只，兔有 $y$ 只，根据题意可列方程组为（______）

A. $\begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases}$ B. $\begin{cases} x + y = 94 \\ 2x + 4y = 35 \end{cases}$ C. $\begin{cases} x + y = 35 \\ 4x + 2y = 94 \end{cases}$ D. $\begin{cases} x + y = 94 \\ 4x + 2y = 35 \end{cases}$

10. 在平面直角坐标系中，将点 $A(2, -1)$ 先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点 $A'$，则点 $A'$ 的坐标是（______）

A. $(-1, 1)$ B. $(5, -3)$ C. $(-1, -3)$ D. $(5, 1)$

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

请将答案直接写在题中的横线上。

三、计算题（本大题共3小题，共16分）

17. （8分）计算：

18. （4分）解方程组：$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases}$

解：

19. （4分）解不等式：$\frac{2x-1}{3} \le \frac{3x+1}{2} - 1$，并把它的解集在数轴上表示出来。

解：

四、解答题（本大题共4小题，共20分）

20. （5分）如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，三角形 $ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(-2, -2)$，$B(3, -2)$，$C(0, 2)$。

（1）将三角形 $ABC$ 向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形 $A_1B_1C_1$，请画出平移后的三角形（示意描述），并写出点 $A_1$ 的坐标；

（2）求出三角形 $ABC$ 的面积。

解：（1）平移后点 $A_1$ 的坐标为：______。

（2）

21. （5分）完成下面的证明过程：

已知：如图，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle C = \angle D$。

求证：$\angle A = \angle F$。

证明：$\because \angle 1 = \angle 2$（已知），

又 $\because \angle 1 = \angle 3$（______），

$\therefore \angle 2 = \angle 3$（等量代换）。

$\therefore$ ______ $\parallel$ ______（同位角相等，两直线平行）。

$\therefore \angle C = \angle ABD$（______）。

$\because \angle C = \angle D$（已知），

$\therefore \angle ABD = \angle D$（等量代换）。

$\therefore$ ______ $\parallel$ ______（内错角相等，两直线平行）。

$\therefore \angle A = \angle F$（______）。

22. （5分）某中学为了解学生最喜欢的球类运动，从全校学生中随机抽取了部分学生进行调查，调查结果绘制成如下不完整的统计图表（示意）。

最喜欢的球类运动条形统计图（示意：纵轴人数，横轴项目）

最喜欢的球类运动扇形统计图（示意）

请根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了 ______ 名学生；

（2）在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为 ______ 度；

（3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“足球”的学生人数。

解：（3）

23. （5分）已知关于 $x$，$y$ 的二元一次方程组 $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 4x - 7y = 1 \end{cases}$ 和 $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ ax + by = 4 \end{cases}$ 有相同的解。

（1）求这两个方程组的相同解；

（2）求 $a$， $b$ 的值。

解：（1）

（2）

五、实际应用题（本大题共1小题，共8分）

24. （8分）某文具店准备购进甲、乙两种文具袋，已知甲种文具袋每个的进价比乙种文具袋每个的进价少2元，且用80元购进甲种文具袋的数量与用100元购进乙种文具袋的数量相同。

（1）求甲、乙两种文具袋每个的进价分别是多少元？

（2）若该文具店计划购进这两种文具袋共100个，且投入的资金不少于920元，又不超过940元，问共有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，若甲种文具袋每个售价为12元，乙种文具袋每个售价为15元，则哪种进货方案能使该文具店销售完这100个文具袋后获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价-进价）

解：（1）

（2）

（3）

六、探究题（本大题共1小题，共8分）

25. （8分）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(a, 0)$，$B(b, 0)$，且满足 $\sqrt{a+2} + |b-4| = 0$。

（1）直接写出 $a =$ ______， $b =$ ______；

（2）如图1，点 $C$ 在 $y$ 轴正半轴上，连接 $AC$，$BC$，若三角形 $ABC$ 的面积为9，求点 $C$ 的坐标；

（3）如图2，已知坐标轴上有两动点 $P$，$Q$ 同时出发，点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $x$ 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点 $Q$ 从点 $O$ 出发沿 $y$ 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动。点 $P$ 到达点 $O$ 时，整个运动随之结束。设运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 2)$。是否存在这样的 $t$，使得三角形 $OPQ$ 的面积等于四边形 $ABQP$ 面积的一半？若存在，请求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）$a =$ ______， $b =$ ______

（2）

（3）

参考答案及评分标准

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

11. 2    12. $5 - 3x$    13. 4    14. $(0, 7)$    15. 80    16. $-2 \le a < -1$

三、计算题（共16分）

17. （8分）解：

（1）原式 $= -5 + (-3) - (\sqrt{2}-1)$   （3分）

$= -5 - 3 - \sqrt{2} + 1$

$= -7 - \sqrt{2}$   （4分）

（2）原式 $= 3 + (2 + \sqrt{2})$   （3分）

$= 3 + 2 + \sqrt{2}$

$= 5 + \sqrt{2}$   （4分）

18. （4分）解：

$\begin{cases} 2x - y = 5 & \text{①} \\ 3x + 4y = 2 & \text{②} \end{cases}$

由①得：$y = 2x - 5$   （1分）

代入②得：$3x + 4(2x-5) = 2$

$3x + 8x -20 = 2$

$11x = 22$

$x = 2$ （2分）

将 $x=2$ 代入 $y = 2x-5$ 得：$y = -1$ （3分）

$\therefore$ 原方程组的解为 $\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$ （4分）

19. （4分）解：

去分母得：$2(2x-1) \le 3(3x+1) - 6$   （1分）

去括号得：$4x - 2 \le 9x + 3 - 6$

移项、合并同类项得：$-5x \le -1$   （2分）

系数化为1得：$x \ge \frac{1}{5}$   （3分）

数轴表示略（空心圈在 $\frac{1}{5}$ 处，向右延伸）   （4分）

四、解答题（共20分）

20. （5分）解：

（1）$A_1(2, 1)$   （2分）

（2）$AB = 3 - (-2) = 5$，$AB$ 边上的高为 $2 - (-2) = 4$   （4分）

$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 = 10$   （5分）

21. （5分）证明：

对顶角相等；（1分）

$BD$；$CE$；（2分）

两直线平行，同位角相等；（3分）

$AC$；$DF$；（4分）

两直线平行，内错角相等。（5分）

22. （5分）解：

（1）50 （1分）

（2）72 （2分）

（3）样本中最喜欢足球的人数为 $50 - 10 - 15 - 5 = 20$（人），占比为 $\frac{20}{50} = 40\%$   （4分）

$\therefore$ 估计该校最喜欢足球的学生人数为 $2000 \times 40\% = 800$（人）   （5分）

23. （5分）解：

（1）解方程组 $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 4x - 7y = 1 \end{cases}$

由①得 $y = 3x - 5$，代入②得 $4x - 7(3x-5)=1$，解得 $x=2$，则 $y=1$。

$\therefore$ 相同解为 $\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$   （2分）

（2）将 $\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ 代入 $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ ax + by = 4 \end{cases}$ 中的第二个方程 $ax+by=4$ 得：

$2a + b = 4$   （4分）

（注：第一个方程 $2\times2+1=5 \neq 3$，说明原题第二方程组第一个方程可能为 $2x+y=5$ 才能有相同解。此处按所给方程，$x=2,y=1$ 不满足 $2x+y=3$，因此 $a,b$ 有无数组解满足 $2a+b=4$。若题目无误，此问答案即为 $2a+b=4$）

$\therefore a, b$ 满足关系 $2a + b = 4$。（例如 $a=1, b=2$） （5分）

五、实际应用题（8分）

24. （8分）解：

（1）设甲种文具袋每个进价为 $x$ 元，则乙种文具袋每个进价为 $(x+2)$ 元。

根据题意得：$\frac{80}{x} = \frac{100}{x+2}$   （1分）

解得：$x = 8$   （2分）

经检验，$x=8$ 是原方程的解，且符合题意。

$\therefore x+2 = 10$。

答：甲种文具袋每个进价8元，乙种文具袋每个进价10元。 （3分）

（2）设购进甲种文具袋 $m$ 个，则购进乙种文具袋 $(100-m)$ 个。

根据题意得：$920 \le 8m + 10(100-m) \le 940$   （4分）

解得：$30 \le m \le 40$。

$\because m$ 为整数，

$\therefore m$ 可以取 30, 31, 32, ..., 40。

$\therefore$ 共有 $40 - 30 + 1 = 11$ 种进货方案。   （5分）

（3）设销售完这100个文具袋后获得的总利润为 $W$ 元。

则 $W = (12-8)m + (15-10)(100-m) = 4m + 500 - 5m = 500 - m$   （6分）

$\because k = -1 < 0$，

$\therefore W$ 随 $m$ 的增大而减小。

$\therefore$ 当 $m = 30$ 时，$W$ 有最大值，最大值为 $500 - 30 = 470$（元）。   （7分）

答：购进甲种文具袋30个，乙种文具袋70个时，利润最大，最大利润为470元。 （8分）

六、探究题（8分）

25. （8分）解：

（1）$a = -2$， $b = 4$   （2分）

（2）$\because A(-2,0)$，$B(4,0)$，

$\therefore AB = 4 - (-2) = 6$。

设点 $C$ 坐标为 $(0, c)$ $(c>0)$。

$\because S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times OC = \frac{1}{2} \times 6 \times c = 9$   （3分）

$\therefore c = 3$。

$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(0, 3)$。   （4分）

（3）存在。

由题意得：$AP = t$， $OQ = 2t$ $(0 < t < 2)$。

$\therefore OP = OA - AP = 2 - t$， $P( -2 + t, 0)$。

$S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2} \times OP \times OQ = \frac{1}{2} \times (2-t) \times 2t = 2t - t^2$。

$S_{梯形ABQP} = \frac{1}{2} \times (AP + BQ) \times OQ = \frac{1}{2} \times [t + (4 - (-2+t))] \times 2t = \frac{1}{2} \times (t + 6 - t) \times 2t = 6t$。   （6分）

依题意得：$2t - t^2 = \frac{1}{2} \times 6t$

即 $2t - t^2 = 3t$

整理得：$t^2 + t = 0$

解得：$t_1 = 0$（舍去）， $t_2 = -1$（舍去，不符合 $0

$\therefore$ 不存在这样的 $t$，使得三角形 $OPQ$ 的面积等于四边形 $ABQP$ 面积的一半。   （8分）