中考数学模拟试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 所有答案必须写在试卷上，选择题答案用2B铅笔填涂，非选择题用黑色签字笔作答。

3. 保持卷面整洁，不要在装订线内答题。

一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

1. 二次函数 $y = 2(x-3)^2 + 1$ 的顶点坐标是（______）

A. (3, 1) B. (-3, 1) C. (3, -1) D. (-3, -1)

2. 一个不透明的袋子中装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率是（______）

A. $\frac{3}{5}$ B. $\frac{5}{8}$ C. $\frac{3}{8}$ D. $\frac{1}{3}$

3. 如图，直线 $a \parallel b$，$\angle 1 = 55^\circ$，则 $\angle 2$ 的度数为（______）

（注：此处为几何图形描述，非图片）已知两平行线被第三条直线所截，$\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是内错角。

A. $35^\circ$ B. $55^\circ$ C. $125^\circ$ D. $135^\circ$

4. 为了解某校800名学生的身高情况，从中随机抽取了80名学生进行测量。下列说法正确的是（______）

A. 800名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 80名学生是样本 D. 样本容量是80

5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为（______）

A. 1 B. -1 C. 2 D. -2

6. 不等式组 $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 2 \le 5 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是（______）

A. 从2（空心）到3（实心） B. 从2（实心）到3（实心） C. 小于2或大于等于3 D. 无解

7. 在平面直角坐标系中，点 $P(m, n)$ 在第二象限，则点 $Q(-m, |n|)$ 在（______）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$，$D$ 是 $\odot O$ 上的两点，若 $\angle CDA = 28^\circ$，则 $\angle ABC$ 的度数为（______）

（注：此处为几何图形描述，非图片）点A、B、C、D均在圆上，AB为直径，C、D在AB同侧。

A. $52^\circ$ B. $56^\circ$ C. $62^\circ$ D. $72^\circ$

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

15. 计算：$(-1)^{2024} + \sqrt{9} - (3-\pi)^0 + | -2 |$。

解：

16. 先化简，再求值：$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 4x + 4} \div \frac{x+2}{x-2} - 1$，其中 $x = \sqrt{2}$。

解：

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $F$，且 $DE = DF$。求证：$\triangle ABC$ 是等腰三角形。

证明：

18. 某学校为丰富学生的课余生活，准备购买一批体育用品。已知购买2个篮球和3个足球共需510元；购买3个篮球和5个足球共需810元。

（1）求篮球和足球的单价各是多少元？

（2）若学校计划用不超过1600元购买篮球和足球共20个，且篮球数量不少于足球数量的一半，请问有哪几种购买方案？

解：（1）

（2）

五、综合题（本大题共1小题，共16分）

19. 如图，抛物线 $y = ax^2 + bx + 3$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1, 0)$，$B(3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点 $D$ 是抛物线上一点，且位于直线 $BC$ 上方，过点 $D$ 作 $DE \parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $E$。求线段 $DE$ 长度的最大值；

（3）在（2）的条件下，当 $DE$ 长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使得 $\triangle PDE$ 是直角三角形？若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）

（2）

（3）

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题4分，共32分）

评分标准：每题选对得4分，不选、错选或多选均得0分。

二、填空题（每小题4分，共24分）

评分标准：每题填对得4分。第14题答对一个值得2分，全对得4分。

三、计算题（每小题6分，共12分）

15. 解：原式 $= 1 + 3 - 1 + 2$ ………………（4分）

$= 5$ ………………（6分）

评分标准：正确计算 $(-1)^{2024}=1$、$\sqrt{9}=3$、$(3-\pi)^0=1$、$| -2 |=2$ 各得1分，共4分；最终结果正确得2分。

16. 解：原式 $= \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)^2} \cdot \frac{x-2}{x+2} - 1$ ………………（2分）

$= 1 - 1$ ………………（4分）

$= 0$。

当 $x = \sqrt{2}$ 时，原式 $= 0$。 ………………（6分）

评分标准：正确分解因式并转化为乘法得2分；正确约分得2分；化简结果和求值各得1分。

四、解答题（每小题8分，共16分）

17. 证明：∵ $D$ 是 $BC$ 的中点，∴ $BD = CD$。 ………………（1分）

∵ $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，∴ $\angle BED = \angle CFD = 90^\circ$。 ………………（2分）

在 Rt$\triangle BDE$ 和 Rt$\triangle CDF$ 中，

$\begin{cases} BD = CD \\ DE = DF \end{cases}$

∴ Rt$\triangle BDE$ $\cong$ Rt$\triangle CDF$ (HL)。 ………………（5分）

∴ $\angle B = \angle C$。 ………………（7分）

∴ $AB = AC$，即 $\triangle ABC$ 是等腰三角形。 ………………（8分）

评分标准：写出中点得1分；写出垂直得1分；正确使用HL定理证明全等得3分；由全等得出角等得1分；得出等腰三角形结论得2分。

18. 解：（1）设篮球的单价为 $x$ 元，足球的单价为 $y$ 元。 ………………（1分）

依题意，得 $\begin{cases} 2x + 3y = 510 \\ 3x + 5y = 810 \end{cases}$ ………………（2分）

解得 $\begin{cases} x = 120 \\ y = 90 \end{cases}$ ………………（3分）

答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元。 ………………（4分）

（2）设购买篮球 $m$ 个，则购买足球 $(20-m)$ 个。

依题意，得 $\begin{cases} 120m + 90(20-m) \le 1600 \\ m \ge \frac{1}{2}(20-m) \end{cases}$ ………………（5分）

解不等式组，得 $\frac{20}{3} \le m \le \frac{40}{3}$。 ………………（6分）

∵ $m$ 为整数，∴ $m$ 可取 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13。 ………………（7分）

∴ 共有7种购买方案：

篮球7个，足球13个；篮球8个，足球12个；篮球9个，足球11个；篮球10个，足球10个；篮球11个，足球9个；篮球12个，足球8个；篮球13个，足球7个。 ………………（8分）

评分标准：（1）设未知数得1分；列出方程组得1分；解方程组正确得1分；作答得1分。（2）设未知数并列出不等式组得1分；解出 $m$ 的范围得1分；找出所有整数解得1分；完整列出方案得1分。

五、综合题（共16分）

19. 解：（1）将 $A(-1,0)$，$B(3,0)$ 代入 $y = ax^2 + bx + 3$，

得 $\begin{cases} a - b + 3 = 0 \\ 9a + 3b + 3 = 0 \end{cases}$，解得 $\begin{cases} a = -1 \\ b = 2 \end{cases}$。 ………………（2分）

∴ 抛物线的解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。 ………………（3分）

（2）由（1）知 $C(0, 3)$。设直线 $BC$ 的解析式为 $y = kx + 3$，将 $B(3,0)$ 代入得 $k = -1$。

∴ 直线 $BC$ 的解析式为 $y = -x + 3$。 ………………（4分）

设 $D(t, -t^2 + 2t + 3)$ $(0 < t < 3)$，则 $E(t, -t + 3)$。 ………………（5分）

∴ $DE = (-t^2 + 2t + 3) - (-t + 3) = -t^2 + 3t = -(t - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$。 ………………（7分）

∵ $-1 < 0$，且 $0 < \frac{3}{2} < 3$，

∴ 当 $t = \frac{3}{2}$ 时，$DE$ 有最大值，最大值为 $\frac{9}{4}$。 ………………（8分）

此时，$D(\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$，$E(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$。 ………………（9分）

（3）存在。抛物线 $y = -x^2 + 2x + 3$ 的对称轴为直线 $x = 1$。 ………………（10分）

设 $P(1, n)$。则 $PD^2 = (\frac{3}{2}-1)^2 + (\frac{15}{4}-n)^2 = \frac{1}{4} + (\frac{15}{4}-n)^2$，

$PE^2 = (\frac{3}{2}-1)^2 + (\frac{3}{2}-n)^2 = \frac{1}{4} + (\frac{3}{2}-n)^2$，

$DE^2 = (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16}$。 ………………（12分）

①当 $\angle DPE = 90^\circ$ 时，$PD^2 + PE^2 = DE^2$。

即 $\frac{1}{4} + (\frac{15}{4}-n)^2 + \frac{1}{4} + (\frac{3}{2}-n)^2 = \frac{81}{16}$，解得 $n = \frac{21\pm\sqrt{41}}{8}$。 ………………（13分）

②当 $\angle PDE = 90^\circ$ 时，$PD^2 + DE^2 = PE^2$。

即 $\frac{1}{4} + (\frac{15}{4}-n)^2 + \frac{81}{16} = \frac{1}{4} + (\frac{3}{2}-n)^2$，解得 $n = \frac{69}{16}$。 ………………（14分）

③当 $\angle PED = 90^\circ$ 时，$PE^2 + DE^2 = PD^2$。

即 $\frac{1}{4} + (\frac{3}{2}-n)^2 + \frac{81}{16} = \frac{1}{4} + (\frac{15}{4}-n)^2$，解得 $n = -\frac{3}{16}$。 ………………（15分）

综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(1, \frac{21+\sqrt{41}}{8})$ 或 $(1, \frac{21-\sqrt{41}}{8})$ 或 $(1, \frac{69}{16})$ 或 $(1, -\frac{3}{16})$。 ………………（16分）

评分标准：（1）正确代入点坐标得1分，求出解析式得2分。（2）求出直线BC解析式得1分；正确设出D、E坐标得1分；正确表示DE长度得2分；求出最大值及此时点坐标得2分。（3）写出对称轴得1分；正确设点P并分类讨论，每正确讨论一种情况（列出方程并解出一个n值）得1分，共4分；总结所有点坐标得1分。