一元二次方程测试卷

班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 得分：__________

一、选择题（每题5分，共25分）

1. 下列关于 $x$ 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）

A. $\lim_{x \t\int_{a}^{b}o 0}\infty\piax^2 + bx + c = 0$

B. $x^2 - 2x = x^2 + 1$

C. $(k+1)x^2 + 3x - 5 = 0$

D. $\sqrt{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$

2. 方程 $(x-2)(x+3) = 0$ 的解是（ ）

A. $x=2$

B. $x=-3$

C. $x_1=-2, x_2=3$

D. $x_1=2, x_2=-3$

3. 一元二次方程 $x^2 - 6x + 5 = 0$ 配方后正确的是（ ）

A. $(x-3)^2 = 4$

B. $(x-3)^2 = 14$

C. $(x-6)^2 = 31$

D. $(x-6)^2 = 5$

4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值为（ ）

A. $4$

B. $-4$

C. $2$

D. $-2$

5. 某商品原价为 $100$ 元，连续两次降价后的价格为 $81$ 元，若每次降价的百分率相同，设这个百分率为 $x$，则可列方程为（ ）

A. $100(1-x)^2 = 81$

B. $100(1+x)^2 = 81$

C. $100(1-2x) = 81$

D. $100(1-x) = 81$

二、填空题（每题5分，共25分）

6. 将方程 $3x(x-1) = 5(x+2)$ 化成一般形式为 ____________________。

7. 方程 $x^2 = 9$ 的解是 ____________________。

8. 若 $x=1$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2 + mx - 5 = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值为 ________。

9. 一元二次方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两根之和为 ________，两根之积为 ________。

10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 2x - k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 ________。

三、计算题（每题8分，共24分）

11. 用直接开平方法解方程：$(x-3)^2 = 25$。

解：

12. 用公式法解方程：$2x^2 - 4x - 1 = 0$。

解：

13. 用因式分解法解方程：$x^2 - 5x = 2x - 10$。

解：

四、解答题（第14题10分，第15题16分，共26分）

14. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 - (k+2)x + 2k = 0$。

(1) 求证：无论 $k$ 取任何实数，方程总有实数根；

(2) 若等腰三角形 $ABC$ 的一边长 $a=1$，另两边长 $b, c$ 恰好是这个方程的两个根，求 $\triangle ABC$ 的周长。

解：

15. 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 $20$ 件，每件盈利 $40$ 元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价 $1$ 元，商场平均每天可多售出 $2$ 件。

(1) 若商场平均每天要盈利 $1200$ 元，每件衬衫应降价多少元？

(2) 每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？最大盈利是多少元？

解：