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数学高中公开试卷

高一数学阶段测试卷

高一数学阶段测试卷 （满分：100分 考试时间：90分钟） 姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知集合 A = { x ∣ − 2 < x ≤ 3 } A = \{x | -2 < x \le 3\} A = { x ∣ − 2 < x ≤ 3 } ，

试卷正文

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高一数学阶段测试卷


（满分：100分 考试时间：90分钟）



姓名：__________

学号：__________

班级：__________



一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 已知集合 A={x∣−2<x≤3}A = \{x | -2 < x \le 3\}，B={0,1,2,3}B = \{0, 1, 2, 3\}，则 A∩B=A \cap B =（______）

A. {0,1,2}\{0, 1, 2\}    B. {1,2,3}\{1, 2, 3\}    C. {0,1,2,3}\{0, 1, 2, 3\}    D. {−1,0,1,2}\{-1, 0, 1, 2\}

2. 若 a>ba > b，则下列不等式一定成立的是（______）

A. a2>b2a^2 > b^2    B. 1a<1b\frac{1}{a} < \frac{1}{b}    C. a∣c∣>b∣c∣a|c| > b|c|    D. a3>b3a^3 > b^3

3. 不等式 x2−5x+6≤0x^2 - 5x + 6 \le 0 的解集是（______）

A. [2,3][2, 3]    B. (−∞,2]∪[3,+∞)(-\infty, 2] \cup [3, +\infty)    C. (2,3)(2, 3)    D. {2,3}\{2, 3\}

4. 函数 f(x)=1x−2f(x) = \frac{1}{x-2} 的定义域是（______）

A. (−∞,2)∪(2,+∞)(-\infty, 2) \cup (2, +\infty)    B. (2,+∞)(2, +\infty)    C. (−∞,2](-\infty, 2]    D. [2,+∞)[2, +\infty)

5. 下列函数中，既是奇函数又在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 上单调递增的是（______）

A. y=x2y = x^2    B. y=xy = \sqrt{x}    C. y=x3y = x^3    D. y=1xy = \frac{1}{x}

6. 已知函数 f(x)f(x) 是定义在 R\mathbb{R} 上的奇函数，且当 x>0x > 0 时，f(x)=x2+2xf(x) = x^2 + 2x，则 f(−1)=f(-1) =（______）

A. −3-3    B. −1-1    C. 11    D. 33

7. 若关于 xx 的不等式 x2+ax+1≥0x^2 + ax + 1 \ge 0 对一切实数 xx 恒成立，则实数 aa 的取值范围是（______）

A. [−2,2][-2, 2]    B. (−2,2)(-2, 2)    C. (−∞,−2]∪[2,+∞)(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)    D. (−∞,−2)∪(2,+∞)(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)

8. 函数 f(x)=−x2+4x−3f(x) = -x^2 + 4x - 3 在区间 [0,4][0, 4] 上的最大值和最小值分别是（______）

A. 1,−31, -3    B. 1,01, 0    C. 3,−33, -3    D. 3,03, 0


二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）


9. 用列举法表示集合 {x∈Z∣−1≤x<2}\{x \in \mathbb{Z} | -1 \le x < 2\} 为 ______。

10. 不等式 ∣2x−1∣<3|2x - 1| < 3 的解集是 ______。

11. 函数 f(x)=4−x+1x+1f(x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x+1} 的定义域是 ______。

12. 若函数 f(x)=(k−2)x2+(k−1)x+3f(x) = (k-2)x^2 + (k-1)x + 3 是偶函数，则 k=k = ______。

13. 函数 f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 的单调递减区间是 ______。

14. 若 x>0x > 0，则 x+4xx + \frac{4}{x} 的最小值为 ______。



三、解答题（本大题共4小题，共52分）

15. （12分）已知全集 U=RU = \mathbb{R}，集合 A={x∣3≤x<7}A = \{x | 3 \le x < 7\}，B={x∣2<x≤10}B = \{x | 2 < x \le 10\}。

（1）求 A∪BA \cup B， A∩BA \cap B；

（2）求 ∁UA\complement_U A， ∁U(A∩B)\complement_U (A \cap B)。

答：









16. （12分）解关于 xx 的不等式：x2−(a+1)x+a<0x^2 - (a+1)x + a < 0（其中 aa 为常数）。

答：









17. （14分）已知函数 f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2+1}。

（1）判断函数 f(x)f(x) 的奇偶性；

（2）利用函数单调性的定义证明：f(x)f(x) 在区间 [1,+∞)[1, +\infty) 上是减函数。

答：













18. （14分）某商店销售一种商品，每件进价为40元。经市场调查发现，若每件售价定为50元，则每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量将减少2件。设每件商品的售价提高 xx 元（x≥0x \ge 0）。

（1）求日销售量 yy（件）关于 xx 的函数关系式；

（2）求该商品日销售利润 PP（元）关于 xx 的函数关系式；

（3）当每件商品的售价定为多少元时，该商品的日销售利润最大？最大利润是多少？

答：













✕

参考答案及评分标准


一、选择题（每小题3分，共24分）


题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

A

A

C

A

A

A

评分标准：每题3分，选对得分，选错或不选得0分。

二、填空题（每小题4分，共24分）

9. {−1,0,1}\{-1, 0, 1\}    10. (−1,2)(-1, 2)    11. (−∞,4]∩(−∞,−1)∪(−1,+∞)(-\infty, 4] \cap (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) 或写为 (−∞,−1)∪(−1,4](-\infty, -1) \cup (-1, 4]

12. 11    13. (−∞,2](-\infty, 2]    14. 44

评分标准：每题4分，完全正确得4分，部分正确或形式错误酌情给1-2分，未写或错误得0分。第11题定义域未用区间表示但集合描述正确扣1分。

三、解答题（共52分）

15. （12分）

解：（1）A∪B={x∣2<x≤10}A \cup B = \{x | 2 < x \le 10\}    …………（3分）

A∩B={x∣3≤x<7}A \cap B = \{x | 3 \le x < 7\}    …………（3分）

（2）∁UA={x∣x<3\complement_U A = \{x | x < 3 或 x≥7}x \ge 7\}    …………（3分）

∁U(A∩B)={x∣x<3\complement_U (A \cap B) = \{x | x < 3 或 x≥7}x \ge 7\}    …………（3分）

评分标准：每个结果3分，未写成集合形式或区间形式扣1分。

16. （12分）

解：不等式 x2−(a+1)x+a<0x^2 - (a+1)x + a < 0 可化为 (x−1)(x−a)<0(x-1)(x-a) < 0。    …………（2分）

方程 (x−1)(x−a)=0(x-1)(x-a)=0 的两根为 x1=1x_1=1， x2=ax_2=a。    …………（1分）

讨论如下：

①当 a>1a > 1 时，不等式的解集为 (1,a)(1, a)；    …………（3分）

②当 a=1a = 1 时，不等式为 (x−1)2<0(x-1)^2 < 0，解集为 ∅\varnothing；    …………（3分）

③当 a<1a < 1 时，不等式的解集为 (a,1)(a, 1)。    …………（3分）

评分标准：正确因式分解得2分，指出两根得1分，三种情况讨论每种情况结论正确得3分（结论和讨论过程匹配）。

17. （14分）

解：（1）函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbb{R}，关于原点对称。    …………（1分）

因为 f(−x)=−x(−x)2+1=−xx2+1=−xx2+1=−f(x)f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = \frac{-x}{x^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x)，    …………（3分）

所以函数 f(x)f(x) 是奇函数。    …………（1分）

（2）证明：任取 x1,x2∈[1,+∞)x_1, x_2 \in [1, +\infty)，且 x1<x2x_1 < x_2。    …………（1分）

则 f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1=x1(x22+1)−x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)f(x_1) - f(x_2) = \frac{x_1}{x_1^2+1} - \frac{x_2}{x_2^2+1} = \frac{x_1(x_2^2+1) - x_2(x_1^2+1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}    …………（2分）

=x1x22+x1−x2x12−x2(x12+1)(x22+1)=x1x2(x2−x1)−(x2−x1)(x12+1)(x22+1)= \frac{x_1x_2^2 + x_1 - x_2x_1^2 - x_2}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)} = \frac{x_1x_2(x_2 - x_1) - (x_2 - x_1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}    …………（2分）

=(x2−x1)(x1x2−1)(x12+1)(x22+1)= \frac{(x_2 - x_1)(x_1x_2 - 1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}    …………（1分）

因为 1≤x1<x21 \le x_1 < x_2，所以 x2−x1>0x_2 - x_1 > 0， x1x2>1x_1x_2 > 1，即 x1x2−1>0x_1x_2 - 1 > 0。

又因为 (x12+1)(x22+1)>0(x_1^2+1)(x_2^2+1) > 0，    …………（1分）

所以 f(x1)−f(x2)>0f(x_1) - f(x_2) > 0，即 f(x1)>f(x2)f(x_1) > f(x_2)。    …………（1分）

因此，函数 f(x)f(x) 在区间 [1,+∞)[1, +\infty) 上是减函数。    …………（1分）

评分标准：第(1)问：指出定义域对称得1分，正确计算f(−x)f(-x)并化简得3分，得出结论得1分。第(2)问：设元得1分，作差得2分，正确通分并合并得2分，正确分解因式得1分，判断分子分母符号各得1分，得出结论得1分。

18. （14分）

解：（1）由题意，日销售量 y=100−2xy = 100 - 2x (x≥0)(x \ge 0)。    …………（3分）

（2）每件商品的售价为 (50+x)(50+x) 元，每件利润为 (50+x−40)=(10+x)(50+x - 40) = (10+x) 元。    …………（2分）

日销售利润 P=(10+x)(100−2x)=−2x2+80x+1000P = (10+x)(100 - 2x) = -2x^2 + 80x + 1000 (x≥0)(x \ge 0)。    …………（3分）

（3）由（2）知，P=−2x2+80x+1000=−2(x−20)2+1800P = -2x^2 + 80x + 1000 = -2(x - 20)^2 + 1800。    …………（3分）

因为 −2<0-2 < 0，且 x≥0x \ge 0，

所以当 x=20x = 20 时，PP 取得最大值，最大值为 18001800 元。    …………（2分）

此时售价为 50+20=7050 + 20 = 70 元。

答：当每件商品的售价定为70元时，日销售利润最大，最大利润为1800元。    …………（1分）

评分标准：第(1)问正确列出关系式并注明定义域得3分。第(2)问：正确表示单件利润得2分，正确列出利润函数并化简得3分。第(3)问：正确配方或利用顶点公式得3分，正确得出最大值及对应xx值得2分，写出最终售价和结论得1分。