解三角形中的范围与最值问题

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（每小题5分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$。已知 $A=\frac{\pi}{3}$，$a=2$，则 $b+c$ 的最大值为（         ）

A. $2$    B. $4$    C. $2\sqrt{3}$    D. $4\sqrt{3}$

2. 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A=\frac{\pi}{3}$，边 $BC=\sqrt{3}$，则 $\triangle ABC$ 周长的最大值为（         ）

A. $3\sqrt{3}$    B. $2\sqrt{3}$    C. $3+\sqrt{3}$    D. $6$

3. 在 $\triangle ABC$ 中，$A=\frac{\pi}{3}$，$a=2$，则角 $A$ 的平分线 $AD$ 长度的取值范围是（         ）

A. $(0,\ \sqrt{3}]$    B. $(0,\ 2]$    C. $(0,\ \sqrt{3})$    D. $(0,\ 3]$

二、填空题（每小题5分，共15分）

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

7.（本小题满分24分）

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $a=2$，$A=\frac{\pi}{3}$。

（1）求 $b+c$ 的最大值，并判断此时三角形的形状；（12分）

答：________________________________________

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（2）求 $\triangle ABC$ 周长的最大值。（12分）

答：________________________________________

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8.（本小题满分22分）

（1）求角 $A$ 的平分线 $AD$ 的长的取值范围；（12分）

答：________________________________________

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在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $A=\frac{\pi}{3}$，$a=2$。

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（2）求 $BC$ 边上的中线 $AM$ 的长的最大值。（10分）

答：________________________________________

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9.（本小题满分24分）

在锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，已知 $a=2$，$A=\frac{\pi}{3}$。

（1）求 $b+c$ 的取值范围；（8分）

答：________________________________________

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（2）求 $\triangle ABC$ 周长的取值范围；（6分）

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（3）求 $\triangle ABC$ 面积的取值范围。（10分）

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参考答案

一、选择题

二、填空题

三、解答题

7. 解：

（1）由正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=2R$，即 $\frac{2}{\sin\frac{\pi}{3}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=2R$，故 $R=\frac{2}{\sqrt{3}}$。

$b=2R\sin B=\frac{4}{\sqrt{3}}\sin B$，$c=2R\sin C=\frac{4}{\sqrt{3}}\sin C$。

$$b+c=\frac{4}{\sqrt{3}}(\sin B+\sin C)=\frac{4}{\sqrt{3}}\left[\sin B+\sin\left(\frac{2\pi}{3}-B\right)\right]$$

$$=\frac{4}{\sqrt{3}}\left(\sin B+\sin\frac{2\pi}{3}\cos B-\cos\frac{2\pi}{3}\sin B\right)$$

$$=\frac{4}{\sqrt{3}}\left(\sin B+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B\right)=\frac{4}{\sqrt{3}}\left(\frac{3}{2}\sin B+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B\right)$$

$$=\frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\sqrt{3}\sin\left(B+\frac{\pi}{6}\right)=4\sin\left(B+\frac{\pi}{6}\right)$$

当 $B+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ 即 $B=\frac{\pi}{3}$ 时，$\sin(B+\frac{\pi}{6})=1$，$b+c$ 取得最大值 4。

此时 $B=C=\frac{\pi}{3}$，$b=c=2$，$\triangle ABC$ 为等边三角形。

（2）周长 $L=a+b+c=2+b+c\leq 2+4=6$，当且仅当 $b=c=2$ 时取等号。

故 $\triangle ABC$ 周长的最大值为 6。

8. 解：

（1）角平分线长公式：$AD=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$。

由 $A=\frac{\pi}{3}$，$\cos\frac{A}{2}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，

$$AD=\frac{2bc\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}{b+c}=\frac{\sqrt{3}\,bc}{b+c}$$

由基本不等式：$(b+c)^2\geq 4bc$，即 $\frac{bc}{b+c}\leq\frac{b+c}{4}$。

又由第7题知 $b+c\leq 4$，故：

$$AD=\sqrt{3}\cdot\frac{bc}{b+c}\leq\sqrt{3}\cdot\frac{b+c}{4}\leq\sqrt{3}\cdot\frac{4}{4}=\sqrt{3}$$

当 $b=c=2$ 时取等号。当 $b\to 0^+$ 或 $c\to 0^+$（三角形趋于退化）时 $AD\to 0$。

故角平分线 $AD$ 的取值范围为 $(0,\ \sqrt{3}]$。

（2）中线长公式：$AM^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}=\frac{2(b^2+c^2)-4}{4}=\frac{b^2+c^2}{2}-1$。

由余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，即 $4=b^2+c^2-bc$，故 $b^2+c^2=4+bc$。

$$AM^2=\frac{4+bc}{2}-1=1+\frac{bc}{2}$$

由 $b^2+c^2\geq 2bc$ 及 $b^2+c^2=4+bc$ 得 $4+bc\geq 2bc$，即 $bc\leq 4$。

故 $AM^2\leq 1+\frac{4}{2}=3$，$AM\leq\sqrt{3}$。

当 $b=c=2$ 时取等号，$BC$ 边上的中线 $AM$ 的最大值为 $\sqrt{3}$。

9. 解：

$\triangle ABC$ 为锐角三角形，$B,C\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，且 $B+C=\frac{2\pi}{3}$。

由 $C=\frac{2\pi}{3}-B<\frac{\pi}{2}$ 得 $B>\frac{\pi}{6}$；同理 $B<\frac{\pi}{2}$。故 $B\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)$。

由正弦定理，$R=\frac{2}{\sqrt{3}}$，$b=\frac{4}{\sqrt{3}}\sin B$，$c=\frac{4}{\sqrt{3}}\sin C$。

（1）$b+c=\frac{4}{\sqrt{3}}(\sin B+\sin C)=4\sin\left(B+\frac{\pi}{6}\right)$。

$B\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)$，$B+\frac{\pi}{6}\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right)$，$\sin\left(B+\frac{\pi}{6}\right)\in\left(\frac{\sqrt{3}}{2},1\right]$。

故 $b+c\in\left(2\sqrt{3},\ 4\right]$。

（2）周长 $L=a+b+c=2+b+c\in\left(2+2\sqrt{3},\ 6\right]$。

（3）$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{\sqrt{3}}{4}bc$。

$B\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right)$，$2B-\frac{\pi}{6}\in\left(\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}\right)$，$\sin\left(2B-\frac{\pi}{6}\right)\in\left(\frac{1}{2},1\right]$。$$=\frac{4}{3}+\frac{8}{3}\sin\left(2B-\frac{\pi}{6}\right)$$$$=\frac{16}{3}\cdot\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{3}\sin 2B-\cos 2B\right)=\frac{4}{3}\left[1+2\sin\left(2B-\frac{\pi}{6}\right)\right]$$$$=\frac{16}{3}\left[\sin B\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B\right)\right]=\frac{16}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\sin 2B+\frac{1-\cos 2B}{4}\right)$$$$bc=\frac{16}{3}\sin B\sin C=\frac{16}{3}\sin B\sin\left(\frac{2\pi}{3}-B\right)$$

故 $bc\in\left(\frac{8}{3},\ 4\right]$，$S=\frac{\sqrt{3}}{4}bc\in\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\ \sqrt{3}\right]$。