初三二次函数压轴题专项练习

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（共4题，每题5分）

1. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ $(a \neq 0)$ 的图象如图所示（注：此处为文字描述，不依赖图片），其对称轴为直线 $x = 1$，且经过点 $(-1, 0)$。给出以下结论：① $abc > 0$；② $2a + b = 0$；③ $4a + 2b + c < 0$；④ 若点 $A(-2, y_1)$， $B(3, y_2)$ 在函数图象上，则 $y_1 > y_2$。其中正确结论的个数是（______）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^2 - 2mx + m^2 - 1$ 与直线 $y = 2x + 3$ 有且仅有一个公共点，则 $m$ 的值为（______）

A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 以上都不对

3. 已知点 $P(m, n)$ 在以 $y = ax^2 - 4ax + 4a + 5$ $(a > 0)$ 为图象的抛物线上，且满足 $m^2 + n^2 \leq 16$，则 $a$ 的取值范围是（______）

A. $0 < a \leq \frac{1}{4}$ B. $0 < a \leq \frac{1}{2}$ C. $a \geq \frac{1}{4}$ D. $a \geq \frac{1}{2}$

4. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，当 $x = 2$ 时，函数有最大值 $3$，且其图象与 $x$ 轴两交点间的距离为 $4$，则该二次函数的解析式为（______）

A. $y = -\frac{3}{4}x^2 + 3x$ B. $y = -3x^2 + 12x - 9$ C. $y = -\frac{3}{4}(x-2)^2 + 3$ D. $y = -3(x-2)^2 + 3$

二、填空题（共4题，每题5分）

1. 若抛物线 $y = x^2 + (k-1)x + k$ 的顶点在 $x$ 轴上，则 $k =$ ______。

2. 已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 在 $0 \leq x \leq m$ 范围内的最大值为 $-3$，最小值为 $-4$，则实数 $m$ 的取值范围是 ______。

3. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1, 0)$ 和 $B(3, 0)$，与 $y$ 轴交于点 $C$。若点 $P$ 为抛物线上一点，且 $\triangle PBC$ 的面积是 $\triangle ABC$ 面积的 $\frac{1}{3}$