高等数学期末考试试卷

完成时间：_______ 分钟     得分：_______

一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1. 设集合 $A = \{x | -2 < x \leq 3\}$， $B = \{x | x \geq 0\}$，则 $A \cap B =$（    ）

A. $(-2, 3]$      B. $[0, 3]$      C. $[0, 3)$      D. $(-2, +\infty)$

2. 函数 $f(x) = \sqrt{4 - x^2} + \frac{1}{x-1}$ 的定义域是（    ）

A. $[-2, 2]$      B. $[-2, 1) \cup (1, 2]$      C. $(-2, 2)$      D. $(-2, 1) \cup (1, 2)$

3. 下列函数中，为奇函数的是（ ）

A. $f(x) = x^3 + \cos x$      B. $f(x) = x^2 \sin x$      C. $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$      D. $f(x) = \ln(x + \sqrt{1+x^2})$

4. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$ 的值为（    ）

A. $\frac{2}{3}$      B. $\frac{3}{2}$      C. $1$      D. $0$

5. 设函数 $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x < 0 \\ a, & x = 0 \\ 2x+b, & x > 0 \end{cases}$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a, b$ 的值为（    ）

A. $a=1, b=1$      B. $a=1, b=0$      C. $a=0, b=1$      D. $a=0, b=0$

6. 设 $y = e^{x^2}$，则 $dy =$（    ）

A. $e^{x^2} dx$      B. $2xe^{x^2} dx$      C. $x^2 e^{x^2} dx$      D. $2e^{x^2} dx$

7. 函数 $f(x) = x^3 - 3x$ 的单调递减区间是（    ）

A. $(-1, 1)$      B. $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$      C. $(-\infty, -1]$      D. $[-1, 1]$

8. 不定积分 $\int (2x + \cos x) dx =$（    ）

A. $x^2 + \sin x + C$      B. $2 + \sin x + C$      C. $x^2 - \sin x + C$      D. $2 - \sin x + C$

9. 定积分 $\int_{0}^{1} e^x dx =$（    ）

A. $e-1$      B. $1-e$      C. $e$      D. $1$

10. 微分方程 $y' = 2x$ 的通解是（    ）

A. $y = x^2$      B. $y = x^2 + C$      C. $y = 2x + C$      D. $y = 2$

二、填空题（本大题共5个小题，每空2分，共10分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1. 设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$， $A = \{1, 3, 5\}$，则 $A$ 的补集 $\complement_U A =$ ______________。

2. 函数 $f(x) = \ln(3x - 2)$ 的定义域用区间表示为 ______________。

3. 极限 $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{2x} =$ ______________。

4. 已知函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $f'(x_0) = 3$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率为 ______________。

5. 不定积分 $\int \frac{1}{x} dx =$ ______________ $+ C$ $(x > 0)$。

三、判断题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）

判断下列各题正误，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”。

1. 空集是任何集合的子集。（ ）

2. 函数 $y = \sqrt{x^2}$ 与 $y = x$ 是同一个函数。（    ）

3. 若 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处一定有定义。（    ）

4. 若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处一定可导。（    ）

5. 导数 $(\sin x)' = \cos x$。（    ）

6. 函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内导数为正，则 $f(x)$ 在此区间内单调增加。（    ）

7. 若 $F'(x) = f(x)$，则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。（    ）

8. 定积分 $\int_{a}^{b} f(x) dx$ 的值只与被积函数 $f(x)$ 和积分区间 $[a, b]$ 有关，与积分变量无关。（    ）

9. 无穷积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx$ 收敛。（    ）

10. 微分方程 $y'' + y = 0$ 是二阶线性齐次方程。（    ）

四、简答题（本大题共4个大题，共40分）

1. 计算下列函数的定义域（共2小题，每小题5分，共10分）

(1) $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x^2 - 9}$

答：