五年级数学第一单元《图形的运动（二）》培优测试卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项

1. 本试卷为培优卷，共10题，满分100分。
2. 所有作图题必须在提供的方格（用下划线表示）或指定区域内完成。
3. 答题时，请仔细审题，书写工整，推理过程清晰。
4. 开放题和创新设计题需详细阐述你的思考过程。

一、轴对称的探究（共2题，16分）

1. （8分） 我们学过，等边三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴。观察正多边形对称轴数量的变化规律。

（1）正六边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴。

（2）若一个正多边形有20条对称轴，则它是一个正______边形。

（3）探究： 一个图形对称轴的数量能否是奇数？请结合正多边形和常见图形（如长方形、等腰梯形、圆等）的例子，说明你的理由。

答：________________________________________________________________

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2. （8分） 已知字母“E”是一个轴对称图形（水平放置，即“三横一竖”的形状）。

（1）在下面方格中，画出字母“E”的一条对称轴，并用字母$O$标出它的对称中心（如果存在）。

（2）设计一个由字母“E”通过两次轴对称变换得到新图案的方案。要求两次对称轴不平行。描述你的设计方案（例如：先关于直线$l_1$对称，再关于直线$l_2$对称），并推断最终得到的图形与原始图形之间可能存在怎样的运动关系（平移、旋转或仍是轴对称）？简述你的推理过程。

答：________________________________________________________________

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二、平移的优化与推理（共2题，18分）

3. （9分） 在方格纸上，一个棋子从点$A(1， 2)$出发，要到达点$B(7， 5)$。规定每次移动只能向上或向右走一格。

（1）从$A$到$B$的最短路径共有______种不同的走法。

（2）现规定棋子必须先移动到点$C(4， 3)$，然后再从$C$移动到$B$。请问，此时从$A$经过$C$再到$B$的最短路径有多少种？写出你的计算思路。

答：________________________________________________________________

（3）建模： 如果棋盘上有障碍物，点$D(3， 4)$不能通过。那么从$A(1， 2)$到$B(7， 5)$不经过$D$的最短路径有多少种？请建立数学模型（可列式或文字描述）进行求解。

答：________________________________________________________________

4. （9分） 一个图形先向右平移5格，再向下平移3格，可以用一次平移来描述这个结果。

（1）这次“合成”的平移方向和距离是怎样的？

答：________________________________________________________________

（2）逆向推理： 已知一个图形经过一次平移后，其上的一点$P(2， -1)$移动到了点$P'( -3， 4)$。小芳认为，这个平移过程可以分解为“先向左平移$m$格，再向上平移$n$格”，也可以分解为“先向上平移$a$格，再向左平移$b$格”。

求证：无论按哪种顺序分解，图形实际移动的总水平距离$|m| = |b|$，总垂直距离$|n| = |a|$。并求出此题中$m, n, a, b$的值。

答：________________________________________________________________

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三、旋转的规律与证明（共2题，18分）

5. （9分） 将一副三角尺（一个$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$，一个$45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$）像下图一样摆放，让$45^\circ$三角尺的斜边与$60^\circ$三角尺的较长直角边重合。

（1）求$\angle CAE$的度数。

（2）固定$60^\circ$三角尺不动，将$45^\circ$三角尺绕公共点$A$逆时针旋转。请问：在旋转过程中，是否存在一个位置，使得$45^\circ$三角尺的斜边$AC$与$60^\circ$三角尺的斜边$AE$互相平行？若存在，求出需要旋转的角度；若不存在，请说明理由。

答：________________________________________________________________

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6. （9分） 如图，在方格纸中，三角形$ABC$绕点$O$逆时针旋转$90^\circ$后，得到三角形$A'B'C'$。

y
^
|
| ·C
| / \
| / \
| / \
| ·A——-——·B
|
O——————————————> x
（示意图：点O为原点(0,0)，A(1,0)，B(3,0)，C(1,2)）

（1）在头脑中或草稿上完成旋转，写出点$A'$, $B'$, $C'$的坐标。

$A'$（______， ______）， $B'$（______， ______）， $C'$（______， ______）。

（2）规律探究： 连接原图形上的点$P(x, y)$和其旋转后的对应点$P'(x', y')$，研究点$O, P, P'$之间的关系。我们发现线段$OP$与$OP'$的长度关系是______， $\angle POP' =$ ______。

（3）证明： 利用（2）中的发现，证明对于绕原点$O$逆时针旋转$90^\circ$的变换，点$P(x, y)$的对应点$P'$的坐标一定满足：$x' = -y$, $y' = x$。（提示：可以考虑构造直角三角形或利用距离、角度关系）

答：________________________________________________________________

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四、图形运动的综合推理（共2题，20分）

7. （10分） 一个图案$M$经过以下一系列变换后，回到了起始位置：

① 绕点$A$顺时针旋转$60^\circ$。

② 关于直线$l$作轴对称。

③ 沿向量$\vec{v}$（方向东北，即右上方$45^\circ$方向，长度$\sqrt{2}$格）平移。

已知完成步骤③后，图案$M$与原始图案完全重合。

（1）根据描述，你认为直线$l$与旋转中心$A$、平移向量$\vec{v}$之间可能存在怎样的特殊位置关系？提出你的猜想。

（2）如果步骤①改为绕点$A$顺时针旋转$120^\circ$，其他步骤不变，最终图案还能与原始图案重合吗？为什么？请从图形运动的组合角度进行分析。

答：________________________________________________________________

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8. （10分） 在$4 \times 4$的方格纸中，用阴影涂出4个小方格，设计一个图案$G$。要求图案$G$同时满足以下三个条件：

1. 图案$G$不是轴对称图形。
2. 图案$G$绕其中心点（即$4 \times 4$网格的正中心）旋转$90^\circ$后，得到的新图案$G'$与$G$完全不同（即$G'$不是$G$通过平移能得到的）。
3. 将$G'$向上平移2格后，可以得到图案$G$本身。

（1）在下方的方格中画出你设计的图案$G$。（用“#”表示阴影格子）

（2）解释你的设计是如何满足上述三个条件的。

答：________________________________________________________________

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五、创新设计与数学建模（共2题，28分）

9. （14分） 【图案设计挑战】

请你作为一名“图形运动设计师”，利用轴对称、平移、旋转这三种基本运动，设计一个复杂、美观且具有规律性的连续图案（如花边、地砖图案等）。

设计要求：

1. 基本单元： 首先，在右边空白处设计一个简单的“基础图形”（不超过4个方格）。画出它。
2. 运动组合： 详细描述你如何运用三种运动（至少用到两种），将“基础图形”变换、复制，最终组合成你的连续图案。写出你的步骤（例如：第一步：将基础图形关于竖直线对称，得到图形A；第二步：将图形A向右平移3格，得到图形B；第三步……）。
3. 规律与建模： 你的连续图案在哪个方向上是周期性重复的？这个重复的“周期”包含几个你的基础图形？尝试用数学语言描述这个生成规律。
4. 绘制： 在下方的大方格区域中，绘制出你设计出的连续图案（至少展示2个完整周期）。

我的设计步骤与规律描述：

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10. （14分） 【迷宫中的数学】

下图是一个简单的数字迷宫，入口在左上角“起点”，出口在右下角“终点”。每次只能向右或向下移动一格。格子中的数字代表旋转角度指令：到达该格子时，必须将你的“方向令牌”按顺时针旋转该数字对应的角度（例如，90表示顺时针旋转$90^\circ$）。“方向令牌”初始指向右侧。

（1）路径探索： 找出两条从起点到终点的路径，并计算走完每条路径后，你的“方向令牌”最终指向什么方向（用东、南、西、北描述）。

路径一：________________________， 最终方向：______。

路径二：________________________， 最终方向：______。

（2）建模与证明： 小明说：“在这个迷宫中，无论选择哪条从起点到终点的最短路径，最终‘方向令牌’的指向都是一样的。”你认为小明的说法正确吗？请通过建立数学模型（分析指令数字和移动方向的关系）来证明或反驳他的猜想。

（提示：考虑每次移动（右或下）和格子中的旋转指令，对总的方向改变产生了怎样的贡献。）

答：________________________________________________________________

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