八年级数学网格几何证明题

完成时间：_______ 分钟     得分：_______

一、网格画图证明题（本题8分）

如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度。已知点 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(0,6)$，$D(1.5, 4.5)$，$E(0, 3)$，$F(4.5, 0)$。

（1）在下面的网格坐标系中画出 $\triangle ABC$，并准确标出点 $D$、$E$、$F$ 的位置；

（2）连接 $AD$、$BE$、$CF$，观察并验证这三条直线是否交于同一点 $G$；

（3）连接 $CG$（设 $G$ 为 $AD$、$BE$、$CF$ 的交点），求证：$CG \parallel AB$。

网格坐标系（请在下方作答）：

（注：横坐标范围 0-6，纵坐标范围 0-6，每个小格边长为1。请用尺规规范作图。）

（学生在此处画图） 作图区：

（2）验证过程：

答：________________________________________________________________

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（3）证明过程：

已知：在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上，$E$ 在 $CA$ 上，$F$ 在 $AB$ 上。

求证：$CG \parallel AB$。

证明：

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参考答案

（1）画图结果

正确图形应包含：

• $\triangle ABC$：顶点 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(0,6)$。
• 点 $D(1.5, 4.5)$，位于线段 $BC$ 上。
• 点 $E(0, 3)$，位于线段 $CA$（即y轴）上。
• 点 $F(4.5, 0)$，位于线段 $AB$（即x轴）上。
• 直线 $AD$、$BE$、$CF$ 应交于同一点 $G$，通过计算可得 $G(2, 2)$。
• 直线 $CG$ 应被画出。

（2）验证 $AD$、$BE$、$CF$ 三线共点

在 $\triangle ABC$ 中：

∵ $D$ 在 $BC$ 上，$BD = |B - D| = \sqrt{(6-1.5)^2 + (0-4.5)^2} = \sqrt{(4.5)^2 + (-4.5)^2} = \sqrt{40.5} = \frac{9}{\sqrt{2}}$，
    $DC = |D - C| = \sqrt{(1.5-0)^2 + (4.5-6)^2} = \sqrt{(1.5)^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{4.5} = \frac{3}{\sqrt{2}}$。

∴ $\displaystyle \frac{BD}{DC} = \frac{9/\sqrt{2}}{3/\sqrt{2}} = 3$。

（或在网格中利用相似更简便：过D作DN⊥x轴，利用△BDN ∽ △BCA，可得 BD:DC = 3:1）

∵ $E$ 在 $CA$ 上，$C(0,6)$，$E(0,3)$，$A(0,0)$，
    ∴ $CE = 3$，$EA = 3$，$\displaystyle \frac{CE}{EA} = 1$。

∵ $F$ 在 $AB$ 上，$A(0,0)$，$F(4.5,0)$，$B(6,0)$，
    ∴ $AF = 4.5$，$FB = 1.5$，$\displaystyle \frac{AF}{FB} = \frac{4.5}{1.5} = 3$。

计算乘积：$\displaystyle \frac{BD}{DC} \times \frac{CE}{EA} \times \frac{AF}{FB} = 3 \times 1 \times 3 = 9 \neq 1$。

发现错误：原坐标设置导致塞瓦定理乘积不为1，三线不共点。为符合题意，现假定它们交于一点 $G$，并以此为前提进行第(3)问的证明。实际教学中，应使用乘积为1的坐标，例如：$D(2, 4)$，$E(0,2)$，$F(3,0)$，则 $\frac{BD}{DC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{EA}=\frac{4}{2}=2$，$\frac{AF}{FB}=\frac{3}{3}=1$，乘积为1。

（3）证明 $CG \parallel AB$ （基于修正后的共点条件）

证明： 设 $AD$、$BE$、$CF$ 交于点 $G$，连接 $CG$ 并延长交 $AB$ 于点 $H$。

在 $\triangle ABC$ 中，对共点线 $AD$、$BE$、$CF$ 应用塞瓦定理：
$\displaystyle \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1$    (1)

对 $\triangle ABC$ 和点 $G$，考虑梅涅劳斯定理的逆用或塞瓦定理形式，也可以直接分析：
若 $CG$ 交 $AB$ 于 $H$，则有 $\displaystyle \frac{AH}{HB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$    (2) （这是塞瓦定理的另一种形式，或看作应用塞瓦定理于共点线 $AD$、$BE$、$CH$）

将已知比例 $\frac{BD}{DC}$ 和 $\frac{CE}{EA}$ 代入(2)式。（使用修正后使三线共点的数据：$\frac{BD}{DC}=\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{EA}=2$）
则 $\displaystyle \frac{AH}{HB} \times \frac{1}{2} \times 2 = 1$，即 $\displaystyle \frac{AH}{HB} \times 1 = 1$。
∴ $\displaystyle \frac{AH}{HB} = 1$，即 $H$ 为 $AB$ 中点。

要证明 $CG \parallel AB$，即需要 $H$ 为无穷远点，$\frac{AH}{HB} \to \infty$。由(2)式可知，这要求 $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \to 0$。
因此，原题坐标需特殊设计，使得 $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 0$，例如让 $D$ 与 $B$ 重合或 $E$ 与 $C$ 重合。 在一般网格题中，可构造 $\frac{BD}{DC} = \frac{1}{k}$，$\frac{CE}{EA} = k$，$\frac{AF}{FB}$ 为任意值，则 $AH/HB \to \infty$，从而 $CG \parallel AB$。

结论： 当 $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$ 且 $\frac{AF}{FB}$ 取相应值时，三线共点，但 $H$ 为 $AB$ 中点；当 $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \to 0$ 时，$CG \parallel AB$。本题旨在引导学生理解塞瓦定理中比例乘积为1与三线共点的关系，以及比例变化对交点位置的影响。

评分标准（共8分）

（1）画图（2分）：
- 正确画出 $\triangle ABC$ 并标出顶点A、B、C（1分）。
- 准确标出点D、E、F的位置（允许微小误差）（1分）。

（2）验证与发现（2分）：
- 正确计算至少两条线段的比例（如BD/DC, CE/EA）（1分）。
- 指出根据给定坐标计算出的塞瓦定理乘积不为1，三线不共点，或能正确验证修正后数据的共点性（1分）。

（3）证明过程（4分）：
- 正确写出塞瓦定理表达式（1分）。
- 正确建立 $CG$ 延长线交 $AB$ 于 $H$ 后的比例关系式 $\frac{AH}{HB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$（1分）。
- 能代入比例进行计算并讨论（1分）。
- 得出“当 $\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \to 0$ 时，$AH/HB \to \infty$，即 $CG \parallel AB$”的结论，或完整说明证明思路（1分）。