一元二次方程与二次函数图像和性质综合检测题

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（         ）

A. $x + 3 = 0$  B. $x^2 - 2x = 0$  C. $\frac{1}{x} = 2$  D. $x^2 + y = 1$

2. 方程 $x^2 - 9 = 0$ 的解是（         ）

A. $x = 3$  B. $x = -3$  C. $x_1 = 3,\ x_2 = -3$  D. $x = 9$

3. 一元二次方程 $x^2 - 4x + 4 = 0$ 的根的情况是（         ）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定

4. 抛物线 $y = x^2 - 2x + 1$ 的顶点坐标是（         ）

A. $(1, 0)$  B. $(-1, 0)$  C. $(0, 1)$  D. $(1, 1)$

5. 抛物线 $y = -2x^2$ 的开口方向是（         ）

A. 向上 B. 向下 C. 向左 D. 向右

6. 二次函数 $y = (x - 3)^2 + 2$ 的对称轴是（         ）

A. 直线 $x = 3$  B. 直线 $x = -3$  C. 直线 $x = 2$  D. 直线 $x = -2$

7. 若方程 $x^2 + 2x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的取值范围是（         ）

A. $m < 1$  B. $m > 1$  C. $m \le 1$  D. $m \ge 1$

8. 抛物线 $y = x^2 + 4x + 3$ 与 $y$ 轴的交点坐标是（         ）

A. $(0, 3)$  B. $(3, 0)$  C. $(0, -3)$  D. $(-3, 0)$

9. 将抛物线 $y = x^2$ 向右平移 2 个单位长度，所得抛物线的表达式是（         ）

A. $y = x^2 + 2$  B. $y = x^2 - 2$  C. $y = (x + 2)^2$  D. $y = (x - 2)^2$

10. 二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$ 的最小值是（         ）

A. $-4$  B. $-3$  C. $0$  D. $1$

二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）

三、解方程（每小题 6 分，共 24 分）

1. $x^2 - 4x = 0$

答：________________________________________

2. $x^2 - 2x - 8 = 0$

答：________________________________________

3. $2x^2 - 5x + 2 = 0$

答：________________________________________

4. $(x - 1)^2 = 9$

答：________________________________________

四、解答题（共 22 分）

1.（10 分）已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。

（1）求它的顶点坐标和对称轴；

（2）求它与 $x$ 轴的交点坐标；

（3）当 $x$ 取何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大？

答：________________________________________

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2.（12 分）已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + m - 1 = 0$。

（1）若方程有两个相等的实数根，求 $m$ 的值；

（2）若方程的一个根是 $x = 3$，求 $m$ 的值及另一个根。

答：________________________________________

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