二次函数专项练习（高中知识点下放·综合拓展）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（共8题，每题4分，共32分）

1. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象经过点 $(1, 0)$， $(3, 0)$，且与 $y$ 轴交于正半轴。下列结论正确的是（______）

A. $a > 0, b < 0, c > 0$      B. $a < 0, b > 0, c > 0$      C. $a > 0, b > 0, c < 0$      D. $a < 0, b < 0, c > 0$

2. 若函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2$ 在区间 $[1, 2]$ 上存在零点，则实数 $a$ 的取值范围是（______）

A. $[1, \frac{3}{2}]$      B. $[\frac{3}{2}, 2]$      C. $[1, 2]$      D. $[\frac{3}{2}, +\infty)$

3. 已知二次函数 $y = x^2 + bx + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$。若 $\triangle ABC$ 是等边三角形，则 $b^2 - 4c$ 的值为（______）

A. $12$      B. $8$      C. $4\sqrt{3}$      D. $6$

4. 设 $a, b, c$ 是实数，且 $a > 0$。若关于 $x$ 的方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两个实根 $\alpha$, $\beta$ 满足 $|\alpha| < 1$, $|\beta| < 1$，则必有（______）

A. $|b| < a + c$      B. $|b| > |a + c|$      C. $|b| < 2a$      D. $|b| > |a - c|$

5. 已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ $(a > 0)$ 的顶点为 $P$，与 $x$ 轴交于 $A$， $B$ 两点（$A$ 在 $B$ 左侧）。若 $PA \perp PB$，则下列关系式中恒成立的是（______）

A. $b^2 - 2ac = 0$      B. $b^2 - 4ac = 4$      C. $ac = 1$      D. $b^2 + 4a^2 = 4ac$

6. 对于任意实数 $x$，不等式 $(m-2)x^2 - 2(m-2)x - 4 < 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（______）

A. $(-2, 2]$      B. $(-2, 2)$      C. $[-2, 2]$      D. $[-2, 2)$

7. 设二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 满足 $f(x+2) = f(2-x)$，且 $f(x)$ 的最小值为 $-1$，与 $x$ 轴两交点距离为 $2$。则 $a + b + c$ 的值为（______）

A. $1$      B. $2$      C. $3$      D. $4$

8. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^2$ 上有一动点 $P$，圆 $C: x^2 + (y-2)^2 = 1$。则 $|PC|$ 的最小值为（______）

A. $\sqrt{2} - 1$      B. $\frac{\sqrt{7}}{2} - 1$      C. $\frac{3}{2}$      D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

二、填空题（共6题，每题4分，共24分）

9. 若抛物线 $y = 2x^2 - 4x + 5$ 绕其顶点旋转 $180^\circ$ 后所得新抛物线的解析式为 ______。