七年级（北师大版）数学下册期末测试卷

（满分：120分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

题号	一	二	三	四	五	总分
分数

注意事项：

1. 答题前，请将姓名、学号、班级填写清楚。

2. 选择题答案请用2B铅笔填涂在答题卡对应位置；填空题、计算题、作图题和解答题请用黑色签字笔在试卷指定位置作答。

3. 保持卷面整洁，书写工整。

4. 考试时间为90分钟，请注意合理分配时间。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 计算 $(-2a^2)^3$ 的结果是（______）

A. $-6a^5$   B. $-8a^5$   C. $-6a^6$   D. $-8a^6$

2. 如图（示意），直线 $AB$， $CD$ 相交于点 $O$， $OE \perp AB$ 于点 $O$，若 $\angle 1 = 35^\circ$，则 $\angle 2$ 的度数是（______）

A. $35^\circ$   B. $45^\circ$   C. $55^\circ$   D. $65^\circ$

3. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（______）

A. $1cm$， $2cm$， $3cm$   B. $2cm$， $3cm$， $5cm$

C. $3cm$， $4cm$， $5cm$   D. $4cm$， $4cm$， $9cm$

4. 下列图形中，不是轴对称图形的是（______）

A. 等腰三角形   B. 平行四边形   C. 圆   D. 正方形

5. 已知变量 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y = 3x - 5$，当 $x = 2$ 时， $y$ 的值是（______）

A. $1$   B. $-1$   C. $11$   D. $-11$

6. 下列事件中，属于必然事件的是（______）

A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数是7

B. 在标准大气压下，水加热到 $100^\circ C$ 时会沸腾

C. 打开电视，正在播放新闻联播

D. 任意画一个三角形，其内角和是 $360^\circ$

7. 如图（示意），已知 $\angle 1 = \angle 2$，要判定 $\triangle ABC \cong \triangle ADC$，还需要添加的一个条件是（______）

A. $\angle B = \angle D$   B. $AB = AD$   C. $BC = DC$   D. $AC = AC$

8. 下列计算正确的是（______）

A. $a^2 + a^3 = a^5$   B. $a^2 \cdot a^3 = a^6$   C. $(a^2)^3 = a^5$   D. $a^5 \div a^2 = a^3 (a \neq 0)$

9. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个小球，摸到红球的概率是（______）

A. $\frac{1}{5}$   B. $\frac{2}{5}$   C. $\frac{3}{5}$   D. $1$

10. 如图（示意），在 $\triangle ABC$ 中， $AB = AC$， $\angle A = 40^\circ$， $AB$ 的垂直平分线交 $AC$ 于点 $D$，连接 $BD$，则 $\angle DBC$ 的度数为（______）

A. $20^\circ$   B. $25^\circ$   C. $30^\circ$   D. $40^\circ$

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 用科学记数法表示：$0.000021 =$ ______________。

12. 一个角是它余角的3倍，则这个角的度数为 ______________ 度。

13. 在关系式 $s = 60t$ 中，当 $t = 1.5$ 时， $s =$ ______________。

14. 等腰三角形的一个底角是 $50^\circ$，则它的顶角是 ______________ 度。

15. 计算：$(x+2)(x-3) =$ ______________。

16. 如图（示意），直线 $a \parallel b$，直线 $c$ 与直线 $a$， $b$ 分别交于点 $A$， $B$， $\angle 1 = 110^\circ$，则 $\angle 2 =$ ______________ 度。

三、计算题（本大题共3小题，第17、18题各5分，第19题8分，共18分）

17. 计算：$(-1)^{2024} + (\pi - 3)^0 - (\frac{1}{2})^{-2}$。

解：

18. 先化简，再求值：$(2x+1)(2x-1) - (x-2)^2$，其中 $x = -1$。

解：

19. 计算：

（1）$(3a^2b)^2 \div (-ab)^2$；      （2）$(2x-y)^2 - (x+2y)(x-2y)$。

解：（1）

（2）

四、作图题（本大题共1小题，共6分）

20. 如图，已知 $\triangle ABC$。

（1）画出 $\triangle ABC$ 关于直线 $l$ 对称的 $\triangle A‘B’C‘$；（请用文字描述关键作图步骤，并保留作图痕迹）

（2）若网格中每个小正方形的边长均为1，求 $\triangle A’B‘C’$ 的面积。

解：（1）作图步骤：

① ________________________________________________________________。

② ________________________________________________________________。

③ ________________________________________________________________。

（2）

五、解答题（本大题共6小题，共48分）

21. （6分）一个不透明的口袋中装有4个除颜色外完全相同的球，其中2个红球，1个白球，1个蓝球。

（1）从中随机摸出一个球是红球的概率是多少？

（2）若第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用列表或画树状图的方法求两次摸到的球颜色相同的概率。

解：

22. （7分）如图，点 $B$， $E$， $C$， $F$ 在同一直线上， $AB = DE$， $AC = DF$， $BE = CF$。

（1）求证： $\triangle ABC \cong \triangle DEF$；

（2）若 $\angle A = 85^\circ$， $\angle F = 50^\circ$，求 $\angle B$ 的度数。

（1）证明：

（2）解：

23. （8分）某市出租车收费标准如下：行驶路程在3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.5元（不足1千米按1千米计算）。

（1）写出乘车费用 $y$（元）与行驶路程 $x$（千米）（$x > 3$，且为整数）之间的关系式。

（2）若小明乘坐出租车行驶了7.2千米，应付车费多少元？

（3）若小华付车费17元，则他乘坐出租车行驶的路程最多为多少千米？

解：（1）

（2）

（3）

24. （8分）如图，已知 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线， $DE \parallel AB$ 交 $AC$ 于点 $E$。

（1）求证： $\triangle ADE$ 是等腰三角形；

（2）若 $AB = 6$， $AC = 4$，求 $DE$ 的长。

（1）证明：

（2）解：

25. （9分）【阅读理解】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式。

例如：如图1是一个边长为 $(a+b)$ 的正方形，从整体看，它的面积是 $(a+b)^2$；从各部分看，它的面积是 $a^2 + 2ab + b^2$，所以 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。

【迁移应用】

（1）如图2，通过计算阴影部分的面积可以验证的等式是 ______________（只填序号）。

① $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$    ② $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

（2）利用（1）中得到的等式，解决问题：已知 $a-b=3$， $ab=1$，求 $a^2+b^2$ 的值。

【拓展延伸】

（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式。图3表示的是一个棱长为 $(a+b)$ 的正方体，请你仿照上面的方法，利用图3验证等式：$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。（要求：写出验证过程）

解：（1）______________

（2）

（3）验证过程：

26. （10分）在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ACB = 90^\circ$， $AC = BC$，直线 $MN$ 经过点 $C$，且 $AD \perp MN$ 于点 $D$， $BE \perp MN$ 于点 $E$。

（1）当直线 $MN$ 绕点 $C$ 旋转到图1位置时，求证： $\triangle ADC \cong \triangle CEB$； $DE = AD + BE$。

（2）当直线 $MN$ 绕点 $C$ 旋转到图2位置时，线段 $AD$， $DE$， $BE$ 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由。

（3）当直线 $MN$ 绕点 $C$ 旋转到图3位置时，线段 $AD$， $DE$， $BE$ 之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论。

（1）证明：

（2）猜想：______________。理由：

（3）结论：______________。