数学通用学段期末试卷

高等代数期末试卷

高等代数期末试卷完成时间：______ 分钟得分：______ 一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 1. 多项式 f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 1 f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 f ( x ) = x 4 − 2 x 2 + 1 在有理数域上的标准分解式为 ______。 2. 设矩阵 A = ( 1 2 0 1

试卷正文

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高等代数期末试卷

完成时间：______ 分钟得分：______

一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）

1. 多项式 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$ 在有理数域上的标准分解式为 ______。	2. 设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，则 $A^{10} =$ ______。
3. 若线性方程组 $\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 + 4x_2 - 2x_3 = \lambda \end{cases}$ 无解，则参数 $\lambda =$ ______。	4. 在 $P^3$ 中，向量 $\alpha = (1, 2, 3)$ 在基 $\varepsilon_1=(1,1,0), \varepsilon_2=(0,1,1), \varepsilon_3=(1,0,1)$ 下的坐标为 ______。
5. 已知三阶方阵 $A$ 的特征值为 $1, -2, 3$ ，则 $\|A^2 + 2A\| =$ ______。

二、判断题（共5小题，每小题2分，共10分）

判断下列命题是否正确，正确的在题后括号内打“√”，错误的打“×”。

1. 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，则 $\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \alpha_3+\alpha_1$ 也线性无关。（______）	2. 数域 $P$ 上两个 $n$ 级矩阵 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件是它们有相同的不变因子。（______）
3. 实对称矩阵的特征值一定是实数。（______）	4. 若线性空间 $V$ 的线性变换 $\mathscr{A}$ 在任意基下的矩阵都相同，则 $\mathscr{A}$ 是数乘变换。（______）
5. 正定二次型的规范形是唯一的。（______）

三、计算题（共3小题，每小题15分，共45分）

1. 设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ ，求矩阵 $A$ 的秩，并判断 $A$ 是否可逆。若可逆，求其逆矩阵 $A^{-1}$ 。

解：

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2. 求矩阵 $B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ -2 & -2 & 2 \\ 3 & 6 & -1 \end{pmatrix}$ 的全部特征值和对应的特征向量。

解：

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3. 用正交线性替换化二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3$ 为标准形，并写出所用的正交变换矩阵。

解：

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四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）

1. 设 $V_1$ 和 $V_2$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，证明： $V = V_1 \oplus V_2$ 的充要条件是 $V_1 + V_2 = V$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$ 。

证明：

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2. 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A^2 = A$ 。证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1}AT = \begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$ ，其中 $E_r$ 是 $r$ 阶单位矩阵。

证明：

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