九年级数学 1-3 单元综合测试卷

姓名：                                                班级：                                                得分：                               

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）

1. 下列方程中，是一元二次方程的是（______）

A. $x + 2 = 0$    B. $x^2 + 2x + 1 = 0$    C. $x^2 + \frac{1}{x} = 0$    D. $x^2 + y^2 = 1$

2. 方程 $x^2 - 4x = 0$ 的根是（______）

A. $x = 0$    B. $x = 4$    C. $x_1 = 0, x_2 = 4$    D. $x_1 = 0, x_2 = -4$

3. 二次函数 $y = (x-1)^2 + 2$ 的顶点坐标是（______）

A. $(1, 2)$    B. $(-1, 2)$    C. $(1, -2)$    D. $(-1, -2)$

4. 抛物线 $y = -x^2 + 3x - 2$ 的开口方向是（______）

A. 向上    B. 向下    C. 向左    D. 向右

5. 反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $(2, -3)$，则 $k$ 的值为（______）

A. $6$    B. $-6$    C. $\frac{2}{3}$    D. $-\frac{2}{3}$

6. 下列函数中，$y$ 是 $x$ 的反比例函数的是（______）

A. $y = 2x$    B. $y = \frac{1}{x}$    C. $y = x^2$    D. $y = x + 1$

7. 一元二次方程 $x^2 - 2x + 3 = 0$ 的根的情况是（______）

A. 有两个不相等的实数根    B. 有两个相等的实数根    C. 没有实数根    D. 无法确定

8. 二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$ 的对称轴是（______）

A. $x = 2$    B. $x = -2$    C. $x = 1$    D. $x = 3$

9. 反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象在（______）

A. 第一、二象限    B. 第一、三象限    C. 第二、四象限    D. 第三、四象限

10. 某商品原价 200 元，连续两次降价后售价为 162 元，若每次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为 $x$，则所列方程为（______）

A. $200(1+x)^2 = 162$    B. $200(1-x)^2 = 162$    C. $200(1-2x) = 162$    D. $200(1-x^2) = 162$

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11. 方程 $x^2 = 9$ 的解为 ______。

12. 二次函数 $y = 2x^2 - 8x + 7$ 的最小值为 ______。

13. 反比例函数 $y = \frac{k-1}{x}$ 的图象在第二、四象限，则 $k$ 的取值范围是 ______。

14. 若 $x = 2$ 是方程 $x^2 - mx + 6 = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值为 ______。

15. 抛物线 $y = x^2$ 向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式为 ______。

16. 已知点 $A(-2, y_1)$，$B(-1, y_2)$ 在反比例函数 $y = -\frac{3}{x}$ 的图象上，则 $y_1$ ______ $y_2$（填“＞”“＜”或“=”）

三、解答题（本大题共 7 小题，共 52 分）

17.（6 分） 解方程：$x^2 - 5x + 6 = 0$。

18.（6 分） 解方程：$2x^2 - 4x - 1 = 0$（用配方法）。

19.（6 分） 已知二次函数 $y = x^2 - 2x - 3$。

（1）求该函数图象的顶点坐标和对称轴；

（2）当 $x$ 取何值时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大？

20.（8 分） 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点 $A(2, 3)$。

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）判断点 $B(-1, -6)$ 是否在该函数图象上，并说明理由。

21.（8 分） 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？

22.（8 分） 如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象交于 $A(-2, 1)$，$B(1, n)$ 两点。

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求 $\triangle AOB$ 的面积。

23.（10 分） 某商店销售一种商品，每件进价为 20 元。根据市场调查，当售价为每件 30 元时，每天可售出 100 件；售价每上涨 1 元，每天销量减少 2 件。设售价上涨 $x$ 元，每天利润为 $y$ 元。

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）售价定为多少元时，每天利润最大？最大利润是多少？