高中数学综合练习

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、基本不等式应用（共4题）

1. 已知 $x > 0$，求 $y = x + \frac{4}{x}$ 的最小值。

解：________________________________________

2. 已知 $x > 2$，求 $y = x + \frac{1}{x-2}$ 的最小值。

解：________________________________________

3. 已知 $a > 0, b > 0$，且 $a + 2b = 1$，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值。

解：________________________________________

4. 用一段长为 $20$ 米的篱笆围成一个矩形菜园，当矩形的长和宽各为多少米时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

解：________________________________________

二、十字相乘法因式分解（共6题）

将下列多项式分解因式：

三、三角函数与弧度制综合（共6题）

1. 已知 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$，且 $\alpha$ 是第二象限角，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$ 的值。

解：________________________________________

2. 将角度 $150^\circ$ 化为弧度；将弧度 $\frac{5\pi}{6}$ 化为角度。

答：$150^\circ =$ ______ 弧度；$\frac{5\pi}{6} =$ ______ 度。

3. 已知扇形的圆心角为 $\frac{\pi}{3}$，半径为 $6$，求该扇形的面积。

解：________________________________________

4. 已知扇形的半径为 $8$ cm，弧长为 $4\pi$ cm，求该扇形的圆心角（用弧度表示）。

解：________________________________________

5. 已知一扇形的周长为 $20$ cm，当扇形的圆心角 $\theta$ 为多少弧度时，扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：________________________________________

6. 求证：$\frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}$。

证明：________________________________________