微积分基础

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（每题3分，共15分）

1. 函数 $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ 的定义域是（______）

A. $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ B. $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ C. $[-2, 2]$ D. $(-2, 2)$

2. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{2x}$ 的值为（______）

A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{3}{2}$ C. $0$ D. 不存在

3. 函数 $y = x^3 - 3x$ 在点 $x=1$ 处的导数是（______）

A. $0$ B. $1$ C. $3$ D. $-3$

4. 若 $F'(x) = \cos x$，且 $F(0) = 1$，则 $F(x) =$（______）

A. $\sin x + 1$ B. $\cos x + 1$ C. $-\sin x + 1$ D. $-\cos x + 1$

5. 定积分 $\int_{0}^{1} (2x + 1) \, dx$ 的值等于（______）

A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

二、填空题（每空2分，共20分）

1. 设函数 $f(x) = e^{2x}$，则 $f'(0) =$ ______。

2. 曲线 $y = \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程是 $y =$ ______。

3. 不定积分 $\int x^2 \, dx =$ ______ $+ C$。

4. 极限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x =$ ______。

5. 函数 $f(x) = x^3 - 12x$ 的单调递减区间是 ______。

6. 由曲线 $y = x^2$，直线 $x=0$，$x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形的面积用定积分表示为 ______。

7. 已知 $y = \sin(x^2)$，则 $\frac{dy}{dx} =$ ______。

8. 微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$ 的通解是 $y =$ ______。

9. 函数 $f(x) = |x-1|$ 在 $x=1$ 处 ______（填“可导”或“不可导”）。

10. 若 $\int_{0}^{k} (2x - 1) \, dx = 0$，则常数 $k =$ ______。

三、计算题（每题8分，共40分）

1. 求极限：$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$。

解：

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2. 求函数 $y = x e^{-x}$ 的导数 $y'$ 及二阶导数