安徽沪科版初二数学上册综合测试卷

第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 · 第14章 全等三角形 · 第15章 轴对称图形与等腰三角形

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

姓名：______________ 班级：______________

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（______）

A. 1 cm, 2 cm, 3 cm B. 2 cm, 3 cm, 4 cm C. 2 cm, 2 cm, 4 cm D. 3 cm, 4 cm, 9 cm

2. 下列命题中，是真命题的是（______）

A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 三角形的外角大于任何一个内角 D. 两点之间线段最短

3. 如图，已知 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，$\angle A = 50^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，则 $\angle F$ 的度数为（______）

A. $50^\circ$    B. $60^\circ$    C. $70^\circ$    D. $80^\circ$

4. 等腰三角形的一个内角为 $80^\circ$，则它的底角为（______）

A. $80^\circ$    B. $50^\circ$    C. $80^\circ$ 或 $50^\circ$    D. $20^\circ$

5. 下列图形中，是轴对称图形的是（______）

A. 平行四边形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 梯形

6. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是中线，则下列结论错误的是（______）

A. $\angle B = \angle C$    B. $AD \perp BC$    C. $BD = CD$    D. $\angle BAD = \angle CAD$

7. 下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（______）

A. 三边对应相等 B. 两边和夹角对应相等 C. 两角和夹边对应相等 D. 两边和其中一边的对角对应相等

8. 点 $P(2, -3)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（______）

A. $(-2, 3)$    B. $(2, 3)$    C. $(-2, -3)$    D. $(3, -2)$

9. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AD$ 平分 $\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$，$DE \perp AB$ 于点 $E$，若 $BC = 8$，$BD = 5$，则 $DE$ 的长为（______）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle A = 36^\circ$，$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线，则图中等腰三角形的个数是（______）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

17.（本小题10分） 已知 $\triangle ABC$ 的三边长分别为 $a$，$b$，$c$，且 $a = 5$，$b = 7$，求第三边 $c$ 的取值范围。

解：________________________________________

18.（本小题12分） 如图，点 $B$，$E$，$C$，$F$ 在同一直线上，$AB = DE$，$AC = DF$，$BE = CF$。求证：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$。

证明：________________________________________

19.（本小题12分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$DE \perp AB$ 于点 $E$，$DF \perp AC$ 于点 $F$。求证：$DE = DF$。

证明：________________________________________

20.（本小题14分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE \perp AB$ 于点 $E$，点 $F$ 在 $AC$ 上，$BD = DF$。求证：$CF = EB$。

证明：________________________________________

21.（本小题16分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 120^\circ$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$DE \perp AB$ 于点 $E$。若 $AE = 2$，求 $AB$ 的长。

解：________________________________________

22.（本小题16分） 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle BAC = 90^\circ$，$D$ 是 $BC$ 上一点，$CE \perp AD$ 于点 $E$，$BF \perp AD$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$。求证：$BF = CE$。

证明：________________________________________

参考答案与解析

一、选择题

1. B 解析：三角形两边之和大于第三边。A: 1+2=3，不能；B: 2+3>4，能；C: 2+2=4，不能；D: 3+4<9，不能。

2. D 解析：A 错误，两直线平行时同位角相等；B 错误，相等的角不一定是对顶角；C 错误，三角形的外角大于不相邻的内角；D 正确。

3. C 解析：$\triangle ABC \cong \triangle DEF$，则 $\angle F = \angle C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$。

4. C 解析：若 $80^\circ$ 为顶角，则底角为 $(180^\circ - 80^\circ) \div 2 = 50^\circ$；若 $80^\circ$ 为底角，则底角为 $80^\circ$。

5. C 解析：等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。

6. B 解析：等腰三角形底边上的中线与高线、顶角平分线重合，但题目未说明 $AD$ 是高线，故 B 不一定成立。

7. D 解析：两边和其中一边的对角对应相等不能判定三角形全等（SSA 不成立）。

8. B 解析：关于 $x$ 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。

9. A 解析：$CD = BC - BD = 8 - 5 = 3$，由角平分线性质得 $DE = CD = 3$。

10. C 解析：$\triangle ABC$、$\triangle ABD$、$\triangle BCD$ 均为等腰三角形。

二、填空题

11. $80^\circ$    12. 相等的角是对顶角    13. 15    14. 7    15. $(3, 4)$    16. 8

三、解答题

17. 解：由三角形三边关系得 $b - a < c < a + b$，即 $7 - 5 < c < 5 + 7$，所以 $2 < c < 12$。

18. 证明：$\because BE = CF$，$\therefore BE + EC = CF + EC$，即 $BC = EF$。在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，$\because AB = DE$，$AC = DF$，$BC = EF$，$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$（SSS）。

19. 证明：连接 $AD$。$\because AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$\therefore AD$ 平分 $\angle BAC$（等腰三角形三线合一）。又 $\because DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$\therefore DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。

20. 证明：$\because AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE \perp AB$，$\angle C = 90^\circ$，$\therefore DC = DE$。在 $\text{Rt}\triangle DCF$ 和 $\text{Rt}\triangle DEB$ 中，$\because BD = DF$，$DC = DE$，$\therefore \text{Rt}\triangle DCF \cong \text{Rt}\triangle DEB$（HL），$\therefore CF = EB$。

21. 解：连接 $AD$。$\because AB = AC$，$D$ 是 $BC$ 的中点，$\therefore AD \perp BC$，$AD$ 平分 $\angle BAC$。$\because \angle BAC = 120^\circ$，$\therefore \angle BAD = 60^\circ$。在 $\text{Rt}\triangle ADE$ 中，$\because \angle ADE = 30^\circ$，$\therefore AD = 2AE = 4$。在 $\text{Rt}\triangle ABD$ 中，$\because \angle B = 30^\circ$，$\therefore AB = 2AD = 8$。

22. 证明：$\because \angle BAC = 90^\circ$，$\therefore \angle BAF + \angle CAE = 90^\circ$。$\because CE \perp AD$，$\therefore \angle ACE + \angle CAE = 90^\circ$，$\therefore \angle BAF = \angle ACE$。在 $\triangle ABF$ 和 $\triangle CAE$ 中，$\because \angle AFB = \angle CEA = 90^\circ$，$\angle BAF = \angle ACE$，$AB = AC$，$\therefore \triangle ABF \cong \triangle CAE$（AAS），$\therefore BF = CE$。