高一数学期末检测试卷
（必修五、六、七、八章 满分150分）
完成时间： 分钟 得分：
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在等差数列 { a n } \{a_n\} { a n } 中，已知 a 1 = 3 a_1 = 3 a 1 = 3 ，公差 d = 2 d = 2 d = 2 ，则 a 6 a_6 a 6 的值为（ ）
A. 11 B. 13 C. 15 D. 17
2. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，内角 A A A 、B B B 、C C C 所对的边分别为 a a a 、b b b 、c c c ，若 a = 3 a = 3 a = 3 ，b = 4 b = 4 b = 4 ，C = 60 ∘ C = 60^\circ C = 6 0 ∘ ，则边 c c c 的长度为（ ）
A. 13 \sqrt{13} 13 B. 37 \sqrt{37} 37 C. 13 \sqrt{13} 13 D. 5 5 5
3. 函数 y = sin 2 x y = \sin 2x y = sin 2 x 的最小正周期是（ ）
A. 2 π 2\pi 2 π B. π \pi π C. π 2 \frac{\pi}{2} 2 π D. 4 π 4\pi 4 π
4. 已知直线 l l l 的方程为 y = 3 x − 2 y = 3x - 2 y = 3 x − 2 ，则直线 l l l 的倾斜角 α \alpha α 满足（ ）
A. α = 30 ∘ \alpha = 30^\circ α = 3 0 ∘ B. tan α = 3 \tan\alpha = 3 tan α = 3 C. cos α = 3 \cos\alpha = 3 cos α = 3 D. α = 60 ∘ \alpha = 60^\circ α = 6 0 ∘
5. 圆 x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 9 = 0 x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0 x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + 9 = 0 的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. ( 2 , − 3 ) (2, -3) ( 2 , − 3 ) ，2 2 2 B. ( − 2 , 3 ) (-2, 3) ( − 2 , 3 ) ，4 4 4 C. ( 2 , − 3 ) (2, -3) ( 2 , − 3 ) ，4 4 4 D. ( − 2 , 3 ) (-2, 3) ( − 2 , 3 ) ，2 2 2
6. 若 a > b a > b a > b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. a c > b c ac > bc a c > b c B. a 2 > b 2 a^2 > b^2 a 2 > b 2 C. a + c > b + c a + c > b + c a + c > b + c D. 1 a < 1 b \frac{1}{a} < \frac{1}{b} a 1 < b 1
7. 若等比数列 { a n } \{a_n\} { a n } 中，a 2 = 4 a_2 = 4 a 2 = 4 ，a 4 = 16 a_4 = 16 a 4 = 16 ，则公比 q q q 的值为（ ）
A. 2 2 2 B. − 2 -2 − 2 C. ± 2 \pm 2 ± 2 D. 4 4 4
8. 直线 x − y + 1 = 0 x - y + 1 = 0 x − y + 1 = 0 被圆 ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 4 (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 4 截得的弦长为（ ）
A. 2 \sqrt{2} 2 B. 6 \sqrt{6} 6 C. 2 2 2\sqrt{2} 2 2 D. 2 2 2
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列函数中，在区间 ( 0 , + ∞ ) (0, +\infty) ( 0 , + ∞ ) 上单调递增的是（ ）
A. y = 2 x + 1 y = 2x + 1 y = 2 x + 1 B. y = x 2 − 2 x y = x^2 - 2x y = x 2 − 2 x C. y = log 2 x y = \log_2 x y = log 2 x D. y = ( 1 2 ) x y = \left(\frac{1}{2}\right)^x y = ( 2 1 ) x
10. 关于数列 1 , − 1 , 1 , − 1 , ⋯ 1, -1, 1, -1, \cdots 1 , − 1 , 1 , − 1 , ⋯ ，下列说法正确的是（ ）
A. 是等比数列 B. 是等差数列 C. 通项公式可以为 a n = ( − 1 ) n + 1 a_n = (-1)^{n+1} a n = ( − 1 ) n + 1 D. 前2023项和为 1 1 1
11. 已知直线 l 1 : a x + y + 1 = 0 l_1: ax + y + 1 = 0 l 1 : a x + y + 1 = 0 ，l 2 : x + a y + 1 = 0 l_2: x + ay + 1 = 0 l 2 : x + a y + 1 = 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 l 1 ∥ l 2 l_1 \parallel l_2 l 1 ∥ l 2 ，则 a = 1 a = 1 a = 1 B. 若 l 1 ⊥ l 2 l_1 \perp l_2 l 1 ⊥ l 2 ，则 a = 0 a = 0 a = 0 C. 直线 l 1 l_1 l 1 恒过定点 ( 0 , − 1 ) (0, -1) ( 0 , − 1 ) D. 直线 l 2 l_2 l 2 恒过定点 ( − 1 , 0 ) (-1, 0) ( − 1 , 0 )
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式 x 2 − 3 x − 10 < 0 x^2 - 3x - 10 < 0 x 2 − 3 x − 10 < 0 的解集为________。
13. 在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，已知 a = 2 3 a = 2\sqrt{3} a = 2 3 ，b = 2 b = 2 b = 2 ，B = 30 ∘ B = 30^\circ B = 3 0 ∘ ，则角 A A A 的度数为________。
14. 设 S n S_n S n 为等差数列 { a n } \{a_n\} { a n } 的前 n n n 项和，若 a 1 + a 4 + a 7 = 21 a_1 + a_4 + a_7 = 21 a 1 + a 4 + a 7 = 21 ，则 S 7 S_7 S 7 的值为________。
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）
在等比数列 { a n } \{a_n\} { a n } 中，已知 a 1 = 2 a_1 = 2 a 1 = 2 ，公比 q = 3 q = 3 q = 3 。
（1）求数列 { a n } \{a_n\} { a n } 的通项公式；
（2）求数列 { a n } \{a_n\} { a n } 的前5项和 S 5 S_5 S 5 。
16.（本小题满分15分）
在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，内角 A A A 、B B B 、C C C 所对的边分别为 a a a 、b b b 、c c c ，已知 a = 5 a = 5 a = 5 ，c = 7 c = 7 c = 7 ，cos B = 1 7 \cos B = \frac{1}{7} cos B = 7 1 。
（1）求边 b b b 的长度；
（2）求 △ A B C \triangle ABC △ A B C 的面积。
17.（本小题满分15分）
已知直线 l l l 经过点 P ( 2 , 1 ) P(2, 1) P ( 2 , 1 ) ，且与直线 2 x − y + 3 = 0 2x - y + 3 = 0 2 x − y + 3 = 0 垂直。
（1）求直线 l l l 的方程；
（2）求直线 l l l 与坐标轴围成的三角形面积。
18.（本小题满分17分）
已知函数 f ( x ) = sin 2 x + 3 sin x cos x f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3}\sin x \cos x f ( x ) = sin 2 x + 3 sin x cos x 。
（1）求函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 的最小正周期；
（2）求函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 在区间 [ 0 , π 2 ] \left[0, \frac{\pi}{2}\right] [ 0 , 2 π ] 上的最大值和最小值。
19.（本小题满分17分）
已知数列 { a n } \{a_n\} { a n } 的前 n n n 项和为 S n S_n S n ，且 S n = n 2 + n S_n = n^2 + n S n = n 2 + n 。
（1）求数列 { a n } \{a_n\} { a n } 的通项公式；
（2）设 b n = 2 a n b_n = 2^{a_n} b n = 2 a n ，求数列 { b n } \{b_n\} { b n } 的前 n n n 项和 T n T_n T n ；
（3）求数列 { a n } \{a_n\} { a n } 中，有多少项是三位数？