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数学初中单元练习

七年级数学下册（北师大版）单元测试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知一个三角形的两个内角分别为 50 ∘ 50^\circ 5 0 ∘ 和 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ ，则第三个内角的度数是（______） A. 70 ∘ 70^\circ 7 0 ∘ B. 80 ∘ 80^\circ 8 0 ∘ C. 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ D.

试卷正文

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 已知一个三角形的两个内角分别为 50∘50^\circ 和 60∘60^\circ，则第三个内角的度数是（______）

A. 70∘70^\circ B. 80∘80^\circ C. 90∘90^\circ D. 100∘100^\circ

2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（______）

A. 1，2，3 B. 2，3，5 C. 3，4，8 D. 4，5，6

3. 若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（______）

A. 3 B. 4 C. 10 D. 11

4. 在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=40∘\angle A = 40^\circ，∠B=∠C\angle B = \angle C，则 ∠B\angle B 的度数是（______）

A. 40∘40^\circ B. 60∘60^\circ C. 70∘70^\circ D. 80∘80^\circ

5. 下列说法正确的是（______）

A. 形状相同的两个三角形是全等三角形 B. 面积相等的两个三角形是全等三角形

C. 全等三角形的周长相等 D. 所有的等边三角形都是全等三角形

6. 如图（略），已知 △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF，AB=5AB=5，BC=7BC=7，CA=6CA=6，则 △DEF\triangle DEF 的周长是（______）

A. 18 B. 17 C. 16 D. 15

7. 下列条件中，不能判定 △ABC≅△A‘B’C‘\triangle ABC \cong \triangle A‘B’C‘ 的是（______）

A. AB=A‘B’AB=A‘B’，BC=B‘C’BC=B‘C’，AC=A‘C’AC=A‘C’ B. ∠A=∠A‘\angle A=\angle A‘，∠B=∠B’\angle B=\angle B’，AB=A‘B’AB=A‘B’

C. AB=A‘B’AB=A‘B’，∠A=∠A‘\angle A=\angle A‘，∠C=∠C’\angle C=\angle C’ D. AB=A‘B’AB=A‘B’，BC=B‘C’BC=B‘C’，∠B=∠B‘\angle B=\angle B‘

8. 等腰三角形的一个角是 80∘80^\circ，则它的底角是（______）

A. 50∘50^\circ B. 80∘80^\circ C. 50∘50^\circ 或 80∘80^\circ D. 20∘20^\circ 或 80∘80^\circ

9. 在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=60∘\angle A = 60^\circ，∠B=45∘\angle B = 45^\circ，则 ∠ACD\angle ACD（∠C\angle C 的外角）的度数是（______）

A. 60∘60^\circ B. 105∘105^\circ C. 120∘120^\circ D. 135∘135^\circ

10. 已知 △ABC\triangle ABC 中，AB=ACAB=AC，ADAD 是底边 BCBC 上的高，若 BC=10BC=10，则 BDBD 的长为（______）

A. 5 B. 10 C. 15 D. 20


二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）



11. 三角形的内角和等于 ______ 度。

12. 已知等腰三角形的两边长分别为 4 和 9，则它的周长为 ______。

13. 若 △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF，且 ∠A=55∘\angle A = 55^\circ，∠E=75∘\angle E = 75^\circ，则 ∠C=\angle C = ______。

14. 一个多边形的每个外角都是 30∘30^\circ，则这个多边形的边数是 ______。

15. 在 △ABC\triangle ABC 中，AB=6AB=6，AC=8AC=8，则 BCBC 边的长度范围是 ______。

16. 如图（略），ADAD 是 △ABC\triangle ABC 的角平分线，∠BAC=70∘\angle BAC=70^\circ，则 ∠BAD=\angle BAD= ______ 度。


三、解答题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

17. 已知一个多边形的内角和是 1260∘1260^\circ，求这个多边形的边数。

解：




18. 在 △ABC\triangle ABC 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4\angle A : \angle B : \angle C = 2:3:4，求 △ABC\triangle ABC 三个内角的度数。

解：




19. 已知：如图（略），点 BB，EE，CC，FF 在同一直线上，AB=DEAB=DE，AC=DFAC=DF，BE=CFBE=CF。求证：∠A=∠D\angle A = \angle D。

证明：





20. 已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成 15 和 6 两部分，求这个等腰三角形的底边长。

解：





四、证明题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

21. 如图（略），在 △ABC\triangle ABC 中，AB=ACAB=AC，DD 是 BCBC 的中点，DE⊥ABDE \perp AB，DF⊥ACDF \perp AC，垂足分别为 EE，FF。求证：DE=DFDE=DF。

证明：






22. 如图（略），ACAC 与 BDBD 相交于点 OO，OA=OCOA=OC，OB=ODOB=OD。点 EE，FF 分别在 OAOA，OCOC 的延长线上，且 AE=CFAE=CF。求证：BE∥DFBE \parallel DF。

证明：





五、综合应用题（本大题共1小题，共16分）


23. 在 △ABC\triangle ABC 中，∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ，AC=BCAC = BC，直线 MNMN 经过点 CC，且 AD⊥MNAD \perp MN 于点 DD，BE⊥MNBE \perp MN 于点 EE。

（1）当直线 MNMN 绕点 CC 旋转到图1位置时（点 DD 在 ACAC 的延长线上），求证：△ADC≅△CEB\triangle ADC \cong \triangle CEB；（6分）

（2）当直线 MNMN 绕点 CC 旋转到图2位置时（点 DD 在线段 ACAC 上），线段 DEDE，ADAD，BEBE 之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；（6分）

（3）当直线 MNMN 绕点 CC 旋转到图3位置时（点 DD 在 CACA 的延长线上），线段 DEDE，ADAD，BEBE 之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论。（4分）

（注：图1、图2、图3略，请根据描述理解题意）

解：（1）证明：






（2）猜想：______。

✕

参考答案及评分标准


一、选择题（每小题3分，共30分）


1. A

2. D

3. B

4. C

5. C

6. A

7. C

8. C

9. B

10. A

评分标准：每题选对得3分，选错或不选得0分。


二、填空题（每小题3分，共18分）


11. 180

12. 22

13. 50∘50^\circ

14. 12

15. 2<BC<142 < BC < 14

16. 35

评分标准：每题填对得3分，填错或不填得0分。第15题未写单位不扣分，范围表示正确即可。


三、解答题（每小题5分，共20分）

17. 解：设这个多边形的边数为 nn。 ………………（1分）

根据多边形内角和公式，得 (n−2)×180∘=1260∘(n-2) \times 180^\circ = 1260^\circ。 ………………（2分）

解得 n−2=7n-2 = 7。 ………………（3分）

所以 n=9n = 9。 ………………（4分）

答：这个多边形是九边形。 ………………（5分）

评分标准：设未知数1分，列出方程2分，解出n-2得1分，得出最终边数1分。


18. 解：设 ∠A=2x\angle A = 2x，∠B=3x\angle B = 3x，∠C=4x\angle C = 4x。 ………………（1分）

根据三角形内角和定理，得 2x+3x+4x=180∘2x + 3x + 4x = 180^\circ。 ………………（2分）

即 9x=180∘9x = 180^\circ，解得 x=20∘x = 20^\circ。 ………………（3分）

所以 ∠A=2×20∘=40∘\angle A = 2 \times 20^\circ = 40^\circ，∠B=3×20∘=60∘\angle B = 3 \times 20^\circ = 60^\circ，∠C=4×20∘=80∘\angle C = 4 \times 20^\circ = 80^\circ。 ………………（5分）

评分标准：设未知数1分，列出方程1分，解出x得1分，分别求出三个角各得1分（共2分）。


19. 证明：∵ BE=CFBE = CF，



∴ BE+EC=CF+ECBE + EC = CF + EC，即 BC=EFBC = EF。 ………………（2分）



在 △ABC\triangle ABC 和 △DEF\triangle DEF 中，



{AB=DEAC=DFBC=EF\begin{cases} AB = DE \\ AC = DF \\ BC = EF \end{cases}



∴ △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF（SSS）。 ………………（4分）



∴ ∠A=∠D\angle A = \angle D（全等三角形对应角相等）。 ………………（5分）

评分标准：由BE=CF推出BC=EF得2分，正确写出全等条件（SSS）得2分，得出最终结论得1分。


20. 解：设等腰三角形的腰长为 2x2x，则底边长为 yy。


根据题意，需分两种情况讨论：


情况一：腰长与一半腰长之和为15，底边与一半腰长之和为6。



即 {2x+x=15y+x=6\begin{cases} 2x + x = 15 \\ y + x = 6 \end{cases}，解得 {x=5y=1\begin{cases} x = 5 \\ y = 1 \end{cases}。


此时三边长为10，10，1，满足三角形三边关系。 ………………（3分）


情况二：腰长与一半腰长之和为6，底边与一半腰长之和为15。



即 {2x+x=6y+x=15\begin{cases} 2x + x = 6 \\ y + x = 15 \end{cases}，解得 {x=2y=13\begin{cases} x = 2 \\ y = 13 \end{cases}。



此时三边长为4，4，13。∵ 4+4<134+4<13，∴ 不能构成三角形，舍去。 ………………（4分）


综上所述，这个等腰三角形的底边长为1。 ………………（5分）

评分标准：设未知数并列出第一种情况的方程组得1分，解出第一种情况并检验得2分，列出第二种情况并解出得1分，检验并舍去得1分，写出最终结论得1分。


四、证明题（每小题8分，共16分）

21. 证明：连接 ADAD。 ………………（1分）



∵ AB=ACAB = AC，DD 是 BCBC 的中点，



∴ ADAD 是等腰 △ABC\triangle ABC 底边上的中线，也是顶角的平分线。 ………………（3分）



∴ ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD（或 ADAD 平分 ∠BAC\angle BAC）。 ………………（4分）



∵ DE⊥ABDE \perp AB，DF⊥ACDF \perp AC，



∴ ∠AED=∠AFD=90∘\angle AED = \angle AFD = 90^\circ。 ………………（5分）



在 △ADE\triangle ADE 和 △ADF\triangle ADF 中，



{∠BAD=∠CAD∠AED=∠AFDAD=AD\begin{cases} \angle BAD = \angle CAD \\ \angle AED = \angle AFD \\ AD = AD \end{cases}



∴ △ADE≅△ADF\triangle ADE \cong \triangle ADF（AAS）。 ………………（7分）



∴ DE=DFDE = DF（全等三角形对应边相等）。 ………………（8分）

评分标准：连接辅助线AD得1分，说明AD是角平分线得3分，说明垂直得1分，正确写出全等条件（AAS）得2分，得出最终结论得1分。


22. 证明：∵ OA=OCOA = OC，OB=ODOB = OD，∠AOB=∠COD\angle AOB = \angle COD（对顶角相等），



∴ △AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD（SAS）。 ………………（3分）



∴ ∠A=∠C\angle A = \angle C（全等三角形对应角相等）。 ………………（4分）



∵ AE=CFAE = CF，OA=OCOA = OC，



∴ OA+AE=OC+CFOA + AE = OC + CF，即 OE=OFOE = OF。 ………………（6分）



在 △BOE\triangle BOE 和 △DOF\triangle DOF 中，



{OE=OF∠BOE=∠DOFOB=OD\begin{cases} OE = OF \\ \angle BOE = \angle DOF \\ OB = OD \end{cases}



∴ △BOE≅△DOF\triangle BOE \cong \triangle DOF（SAS）。 ………………（7分）



∴ ∠E=∠F\angle E = \angle F（全等三角形对应角相等）。



∴ BE∥DFBE \parallel DF（内错角相等，两直线平行）。 ………………（8分）

评分标准：证明第一对全等（△AOB≅△COD\triangle AOB \cong \triangle COD）得3分，得出∠A=∠C得1分，推出OE=OF得2分，证明第二对全等（△BOE≅△DOF\triangle BOE \cong \triangle DOF）得1分，得出平行结论得1分。


五、综合应用题（共16分）

23. （1）证明：∵ ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ，∴ ∠ACD+∠BCE=90∘\angle ACD + \angle BCE = 90^\circ。



∵ AD⊥MNAD \perp MN，∴ ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ，∴ ∠ACD+∠CAD=90∘\angle ACD + \angle CAD = 90^\circ。



∴ ∠BCE=∠CAD\angle BCE = \angle CAD（同角的余角相等）。 ………………（2分）



∵ BE⊥MNBE \perp MN，∴ ∠CEB=90∘=∠ADC\angle CEB = 90^\circ = \angle ADC。 ………………（3分）



在 △ADC\triangle ADC 和 △CEB\triangle CEB 中，



{∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEBAC=BC\begin{cases} \angle CAD = \angle BCE \\ \angle ADC = \angle CEB \\ AC = BC \end{cases}



∴ △ADC≅△CEB\triangle ADC \cong \triangle CEB（AAS）。 ………………（6分）

（2）猜想：DE=AD−BEDE = AD - BE。 ………………（7分）



证明：∵ ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ，∴ ∠ACD+∠BCE=90∘\angle ACD + \angle BCE = 90^\circ。



∵ AD⊥MNAD \perp MN，∴ ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ，∴ ∠ACD+∠CAD=90∘\angle ACD + \angle CAD = 90^\circ。



∴ ∠BCE=∠CAD\angle BCE = \angle CAD（同角的余角相等）。 ………………（9分）



∵ BE⊥MNBE \perp MN，∴ ∠CEB=90∘=∠ADC\angle CEB = 90^\circ = \angle ADC。 ………………（10分）



在 △ADC\triangle ADC 和 △CEB\triangle CEB 中，



{∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEBAC=BC\begin{cases} \angle CAD = \angle BCE \\ \angle ADC = \angle CEB \\ AC = BC \end{cases}



∴ △ADC≅△CEB\triangle ADC \cong \triangle CEB（AAS）。



∴ AD=CEAD = CE，CD=BECD = BE。 ………………（11分）



∴ DE=CE−CD=AD−BEDE = CE - CD = AD - BE。 ………………（12分）

（3）结论：DE=BE−ADDE = BE - AD。 ………………（16分）

评分标准：


（1）共6分：证明出∠BCE=∠CAD得2分，说明垂直得1分，正确写出全等条件（AAS）得2分，结论得1分。


（2）共6分：写出正确猜想DE=AD-BE得1分，证明出∠BCE=∠CAD得2分，说明垂直得1分，证明全等并得出AD=CE，CD=BE得1分，得出DE=AD-BE得1分。


（3）共4分：写出正确结论DE=BE-AD得4分。