哈尔滨市七年级下学期期末考试（超难）
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（共10题，每题3分） 1. 已知关于 x x x ，y y y 的方程组 { 2 x + a y = 7 b x − 3 y = − 1 \begin{cases} 2x + ay = 7 \\ bx - 3y = -1 \end{cases} { 2 x + a y = 7 b x − 3 y = − 1 的解为 { x = 2 y = 1 \begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases} { x = 2 y = 1 ，则 a + b a + b a + b 的值为（______）
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
2. 若不等式组 { x > 2 a − 1 x < a + 4 \begin{cases} x > 2a - 1 \\ x < a + 4 \end{cases} { x > 2 a − 1 x < a + 4 的解集是空集，则 a a a 的取值范围是（______）
A. a ≤ 5 a \le 5 a ≤ 5 B. a ≥ 5 a \ge 5 a ≥ 5 C. a ≤ − 5 a \le -5 a ≤ − 5 D. a ≥ − 5 a \ge -5 a ≥ − 5
3. 在平面直角坐标系中，点 P ( m − 2 , 2 m + 1 ) P(m-2, 2m+1) P ( m − 2 , 2 m + 1 ) 在第二象限，且到 x x x 轴的距离是到 y y y 轴距离的2倍，则点 P P P 的坐标为（______）
A. ( − 3 , 5 ) (-3, 5) ( − 3 , 5 ) B. ( − 1 , 3 ) (-1, 3) ( − 1 , 3 ) C. ( − 2 , 3 ) (-2, 3) ( − 2 , 3 ) D. ( − 4 , 7 ) (-4, 7) ( − 4 , 7 )
4. 如图，已知 A B ∥ C D AB \parallel CD A B ∥ C D ，E F EF E F 平分 ∠ A E G \angle AEG ∠ A E G ，F H FH F H 平分 ∠ C F G \angle CFG ∠ C F G ，且 ∠ G = 110 ∘ \angle G = 110^\circ ∠ G = 11 0 ∘ ，则 ∠ E H F \angle EHF ∠ E H F 的度数为（______）
A. 35 ∘ 35^\circ 3 5 ∘ B. 55 ∘ 55^\circ 5 5 ∘ C. 70 ∘ 70^\circ 7 0 ∘ D. 125 ∘ 125^\circ 12 5 ∘
5. 一个正数的两个不同的平方根分别是 2 a − 7 2a-7 2 a − 7 和 a + 4 a+4 a + 4 ，则这个正数的立方根是（______）
A. 3 B. 9 C. 27 3 \sqrt[3]{27} 3 27 D. 9 3 \sqrt[3]{9} 3 9
6. 为了解某校七年级800名学生的体重情况，从中随机抽取了80名学生进行测量．下列说法正确的是（______）
A. 总体是800名学生 B. 个体是每名学生的体重 C. 样本是80名学生 D. 样本容量是80名
7. 已知 13 \sqrt{13} 13 的整数部分为 a a a ，小数部分为 b b b ，则 ( a + 2 ) ( b + 2 ) (a+2)(b+2) ( a + 2 ) ( b + 2 ) 的值为（______）
A. 2 13 2\sqrt{13} 2 13 B. 2 13 + 1 2\sqrt{13}+1 2 13 + 1 C. 2 13 − 1 2\sqrt{13}-1 2 13 − 1 D. 13 + 6 \sqrt{13}+6 13 + 6
8. 若关于 x x x 的不等式 ( 3 a − 2 ) x < 2 (3a-2)x < 2 ( 3 a − 2 ) x < 2 的解集为 x > 2 3 a − 2 x > \frac{2}{3a-2} x > 3 a − 2 2 ，则 a a a 的取值范围是（______）
A. a > 2 3 a > \frac{2}{3} a > 3 2 B. a < 2 3 a < \frac{2}{3} a < 3 2 C. a ≠ 2 3 a \ne \frac{2}{3} a = 3 2 D. a = 2 3 a = \frac{2}{3} a = 3 2
9. 在平面直角坐标系中，将点 P ( − 2 , 3 ) P(-2, 3) P ( − 2 , 3 ) 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，然后绕原点顺时针旋转 90 ∘ 90^\circ 9 0 ∘ ，得到的点 P ′ P' P ′ 的坐标为（______）
A. ( 1 , − 5 ) (1, -5) ( 1 , − 5 ) B. ( 5 , 1 ) (5, 1) ( 5 , 1 ) C. ( − 1 , − 5 ) (-1, -5) ( − 1 , − 5 ) D. ( − 5 , − 1 ) (-5, -1) ( − 5 , − 1 )
10. 已知实数 x x x ，y y y ，z z z 满足 { x + y + z = 5 2 x − y + z = 8 x + 2 y − z = 1 \begin{cases} x+y+z = 5 \\ 2x-y+z = 8 \\ x+2y-z = 1 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = 5 2 x − y + z = 8 x + 2 y − z = 1 ，则 x 2 + y 2 + z 2 x^2 + y^2 + z^2 x 2 + y 2 + z 2 的值为（______）
A. 14 B. 17 C. 21 D. 29
二、填空题（共8题，每题3分） 1. 将命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式：________________________________。
2. 已知 2 x − 1 + ∣ y + 3 ∣ = 0 \sqrt{2x-1} + |y+3| = 0 2 x − 1 + ∣ y + 3∣ = 0 ，则 ( x + y ) 2024 = (x+y)^{2024} = ( x + y ) 2024 = ______。
3. 已知点 M ( 2 a − 1 , 3 a + 2 ) M(2a-1, 3a+2) M ( 2 a − 1 , 3 a + 2 ) 在 y y y 轴上，则点 M M M 关于 x x x 轴对称的点的坐标为 ______。
4. 若关于 x x x ，y y y 的二元一次方程组 { 3 x + 2 y = m + 3 2 x − y = 2 m − 1 \begin{cases} 3x+2y=m+3 \\ 2x-y=2m-1 \end{cases} { 3 x + 2 y = m + 3 2 x − y = 2 m − 1 的解满足 x + y = 2 x+y=2 x + y = 2 ，则 m = m= m = ______。
5. 定义新运算：对于任意实数 a a a ，b b b ，都有 a ⊗ b = a ( a − b ) + 1 a \otimes b = a(a-b) + 1 a ⊗ b = a ( a − b ) + 1 ，例如：3 ⊗ 2 = 3 × ( 3 − 2 ) + 1 = 4 3 \otimes 2 = 3 \times (3-2) + 1 = 4 3 ⊗ 2 = 3 × ( 3 − 2 ) + 1 = 4 。那么不等式 x ⊗ 3 > 7 x \otimes 3 > 7 x ⊗ 3 > 7 的解集为 ______。
6. 一个样本的50个数据分别落在5个小组内，第1、2、3、4组数据的个数分别为2、8、15、5，则第5组的频率为 ______。
7. 如图，在 △ A B C \triangle ABC △ A B C 中，∠ B A C = 60 ∘ \angle BAC = 60^\circ ∠ B A C = 6 0 ∘ ，∠ A C B = 40 ∘ \angle ACB = 40^\circ ∠ A C B = 4 0 ∘ ，B D BD B D 平分 ∠ A B C \angle ABC ∠ A B C ，C E CE C E 平分 ∠ A C B \angle ACB ∠ A C B 的外角 ∠ A C F \angle ACF ∠ A C F ，B D BD B D 与 C E CE C E 相交于点 E E E ，则 ∠ B E C = \angle BEC = ∠ B E C = ______ 度。
8. 在平面直角坐标系中，已知 A ( 2 , 0 ) A(2, 0) A ( 2 , 0 ) ，B ( 0 , 4 ) B(0, 4) B ( 0 , 4 ) ，点 C C C 在 x x x 轴上，且 S △ A B C = 6 S_{\triangle ABC} = 6 S △ A B C = 6 ，则点 C C C 的坐标为 ______。
三、计算与求解题（共4题，每题5分） 1. 计算：( − 1 ) 2024 + − 27 3 − ( − 3 ) 2 + ∣ 2 − 2 ∣ (-1)^{2024} + \sqrt[3]{-27} - \sqrt{(-3)^2} + |\sqrt{2}-2| ( − 1 ) 2024 + 3 − 27 − ( − 3 ) 2 + ∣ 2 − 2∣
解：
2. 解方程组：{ x + 1 3 − y + 2 4 = 0 x − 3 4 − y − 3 3 = 1 12 \begin{cases} \frac{x+1}{3} - \frac{y+2}{4} = 0 \\ \frac{x-3}{4} - \frac{y-3}{3} = \frac{1}{12} \end{cases} { 3 x + 1 − 4 y + 2 = 0 4 x − 3 − 3 y − 3 = 12 1
解：
3. 解不等式组 { 3 ( x − 1 ) < 5 x + 1 x − 1 2 ≥ 2 x − 4 3 \begin{cases} 3(x-1) < 5x + 1 \\ \frac{x-1}{2} \ge \frac{2x-4}{3} \end{cases} { 3 ( x − 1 ) < 5 x + 1 2 x − 1 ≥ 3 2 x − 4 ，并把它的解集在数轴上表示出来。
解：
4. 已知 2 a − 1 2a-1 2 a − 1 的平方根是 ± 3 \pm 3 ± 3 ，3 a + b − 1 3a+b-1 3 a + b − 1 的算术平方根是 4，求 a + 2 b a+2b a + 2 b 的平方根。
解：
四、几何推理与证明题（共2题，每题8分） 1. 如图，已知 ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ∘ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ ∠1 + ∠2 = 18 0 ∘ ，∠ 3 = ∠ B \angle 3 = \angle B ∠3 = ∠ B ，试判断 ∠ A E D \angle AED ∠ A E D 与 ∠ A C B \angle ACB ∠ A C B 的大小关系，并说明理由。
（要求：写出完整的推理过程）
答：
2. 在平面直角坐标系 x O y xOy x O y 中，A ( − 2 , 0 ) A(-2, 0) A ( − 2 , 0 ) ，B ( 4 , 0 ) B(4, 0) B ( 4 , 0 ) ，C ( 0 , 3 ) C(0, 3) C ( 0 , 3 ) 。
(1) 求三角形 A B C ABC A B C 的面积；
(2) 设点 P P P 为 y y y 轴上一点，且 S △ A B P = 1 2 S △ A B C S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} S △ A B P = 2 1 S △ A B C ，求点 P P P 的坐标。
解：(1)
(2)
五、统计与数据分析题（共8分） 某校为了解七年级学生每周课外阅读时间，随机抽取了 m m m 名学生，调查他们平均每周课外阅读时间（单位：小时），将收集的数据分组整理，并绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图。
已知：A ( 0 ≤ t < 2 ) A(0 \le t < 2) A ( 0 ≤ t < 2 ) ，B ( 2 ≤ t < 4 ) B(2 \le t < 4) B ( 2 ≤ t < 4 ) ，C ( 4 ≤ t < 6 ) C(4 \le t < 6) C ( 4 ≤ t < 6 ) ，D ( 6 ≤ t < 8 ) D(6 \le t < 8) D ( 6 ≤ t < 8 ) ，E ( 8 ≤ t < 10 ) E(8 \le t < 10) E ( 8 ≤ t < 10 ) 四个小组的频数之比为 1 : 3 : 4 : 2 1:3:4:2 1 : 3 : 4 : 2 ，且 C C C 组的人数为 16。
请根据以上信息，解答下列问题：
(1) 本次调查的样本容量 m = m = m = ______；
(2) 补全频数分布直方图；
(3) 求扇形统计图中“D D D ”组对应的圆心角度数；
(4) 若该校七年级共有 500 名学生，请你估计平均每周课外阅读时间不少于 6 小时的学生有多少名。
解：(1)
(2) （在答题卡对应位置补全图形）
(3)
(4)
六、综合应用题（共2题，每题10分） 1. 某商场计划购进甲、乙两种商品共 100 件，已知甲种商品每件进价 15 元，售价 20 元；乙种商品每件进价 35 元，售价 45 元。设购进甲种商品 x x x 件，两种商品全部售出后获得的总利润为 y y y 元（利润=售价-进价）。
(1) 求 y y y 与 x x x 之间的函数关系式；
(2) 若商场用于购买这两种商品的总资金不超过 2700 元，求该商场最大利润是多少元，并说明此时的进货方案。
解：(1)
(2)
2. 在平面直角坐标系中，已知点 A ( a , 0 ) A(a, 0) A ( a , 0 ) ，B ( b , 0 ) B(b, 0) B ( b , 0 ) ，且满足 a + 2 + ( b − 4 ) 2 = 0 \sqrt{a+2} + (b-4)^2 = 0 a + 2 + ( b − 4 ) 2 = 0 ，点 C C C 的坐标为 ( 0 , c ) (0, c) ( 0 , c ) ，且 S △ A B C = 12 S_{\triangle ABC} = 12 S △ A B C = 12 。
(1) 直接写出 a a a ，b b b 的值；
(2) 如图 1，若点 C C C 在 y y y 轴正半轴上，求点 C C C 的坐标；
(3) 如图 2，若点 C C C 在 y y y 轴负半轴上，A C AC A C 交 y y y 轴于点 D D D ，B C BC B C 的延长线交 x x x 轴于点 E E E ，连接 D E DE D E 。探究 ∠ A D O \angle ADO ∠ A D O ，∠ B E O \angle BEO ∠ B E O ，∠ D O E \angle DOE ∠ D O E 之间的数量关系，并证明你的结论。
解：(1) a = a= a = ______，b = b= b = ______。
(2)
(3) 结论：________________________。
证明：