高中一年级数学（人教版）· 基本不等式 单元测试
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（共8题，每题5分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知 a > 0 a > 0 a > 0 ，b > 0 b > 0 b > 0 ，且 a + b = 1 a + b = 1 a + b = 1 ，则 1 a + 1 b \frac{1}{a} + \frac{1}{b} a 1 + b 1 的最小值为（______）
A. 2 B. 4 C. 9 2 \frac{9}{2} 2 9 D. 6
2. 若 x > 0 x > 0 x > 0 ，y > 0 y > 0 y > 0 ，且 x + y = 4 x + y = 4 x + y = 4 ，则 x + y \sqrt{x} + \sqrt{y} x + y 的最大值为（______）
A. 2 2 2\sqrt{2} 2 2 B. 4 4 4 C. 2 2 2 D. 8 8 8
3. 已知 x > 1 x > 1 x > 1 ，则函数 y = x + 4 x − 1 y = x + \frac{4}{x-1} y = x + x − 1 4 的最小值为（______）
A. 5 5 5 B. 6 6 6 C. 7 7 7 D. 8 8 8
4. 设 a > b > 0 a > b > 0 a > b > 0 ，则 a 2 + 1 a b + 1 a ( a − b ) a^2 + \frac{1}{ab} + \frac{1}{a(a-b)} a 2 + ab 1 + a ( a − b ) 1 的最小值为（______）
A. 2 2 2 B. 3 3 3 C. 4 4 4 D. 5 5 5
5. 若正数 x , y x, y x , y 满足 x + y = x y − 3 x + y = xy - 3 x + y = x y − 3 ，则 x y xy x y 的最小值为（______）
A. 6 6 6 B. 9 9 9 C. 12 12 12 D. 16 16 16
6. 已知实数 a , b , c a, b, c a , b , c 满足 a 2 + b 2 + c 2 = 1 a^2 + b^2 + c^2 = 1 a 2 + b 2 + c 2 = 1 ，则 a b + b c + c a ab + bc + ca ab + b c + c a 的最大值为（______）
A. 1 2 \frac{1}{2} 2 1 B. 3 2 \frac{\sqrt{3}}{2} 2 3 C. 1 1 1 D. 3 2 \frac{3}{2} 2 3
7. 设 x , y ∈ R + x, y \in \mathbb{R}^+ x , y ∈ R + ，且 1 x + 2 y = 1 \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1 x 1 + y 2 = 1 ，则 x + y x + y x + y 的最小值为（______）
A. 3 + 2 2 3 + 2\sqrt{2} 3 + 2 2 B. 4 + 3 4 + \sqrt{3} 4 + 3 C. 5 + 6 5 + \sqrt{6} 5 + 6 D. 6 + 5 6 + \sqrt{5} 6 + 5
8. 已知正数 a , b , c a, b, c a , b , c ，且 a + b + c = 1 a + b + c = 1 a + b + c = 1 ，则 a b + c + b c + a + c a + b \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} b + c a + c + a b + a + b c 的最小值为（______）
A. 1 2 \frac{1}{2} 2 1 B. 3 2 \frac{3}{2} 2 3 C. 5 2 \frac{5}{2} 2 5 D. 7 2 \frac{7}{2} 2 7
二、填空题（共6题，每题5分） 9. 若 x > − 1 x > -1 x > − 1 ，则函数 y = x + 1 x + 1 y = x + \frac{1}{x+1} y = x + x + 1 1 的最小值为 ______。
10. 已知正数 a , b a, b a , b ，且 a b = a + b + 3 ab = a + b + 3 ab = a + b + 3 ，则 a b ab ab 的最小值为 ______。
11. 设实数 x , y x, y x , y 满足 x 2 + y 2 = 1 x^2 + y^2 = 1 x 2 + y 2 = 1 ，则 ( 1 − x y ) ( 1 + x y ) (1-xy)(1+xy) ( 1 − x y ) ( 1 + x y ) 的最大值为 ______。
12. 若正数 m , n m, n m , n ，且 m 2 n + n 2 m = m + n + 3 \frac{m^2}{n} + \frac{n^2}{m} = m+n+3 n m 2 + m n 2 = m + n + 3 ，则 ( m + n ) 2 − m n (m+n)^2 - mn ( m + n ) 2 − mn 的最小值为 ______。
13. 已知正数 x , y , z x, y, z x , y , z ，且满足 x + y + z x y z = 1 \frac{x+y+z}{xyz}=1 x y z x + y + z = 1 ，则 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) (x+y)(y+z)(z+x) ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) 的最小值为 ______。
14. 设实数 a , b , c > 0 a, b, c >0 a , b , c > 0 ，且满足 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 8 a b c (a+b)(b+c)(c+a)=8abc ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 8 ab c ，则 a + b + c a b c 3 \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}} 3 ab c a + b + c 的最小值为 ______。
三、解答题（共4题，每题10分）
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分10分）已知正数 a , b , c a, b, c a , b , c ，且满足条件：a 2 b + c + b 2 c + a + c 2 a + b = a + b + c + 1 \frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = a+b+c+1 b + c a 2 + c + a b 2 + a + b c 2 = a + b + c + 1 .
(1)求 ( a + b + c ) 2 − ( a b + b c + c a ) (a+b+c)^2 - (ab+bc+ca) ( a + b + c ) 2 − ( ab + b c + c a ) 的最小值；
(2)求 ( a + b + c ) 3 − ( a 3 + b 3 + c 3 ) (a+b+c)^3 - (a^3+b^3+c^3) ( a + b + c ) 3 − ( a 3 + b 3 + c 3 ) 的最大值。
解：
18. (本小题满分10分)设正数x , y , z x,y,z x , y , z ,且满足x + y + z = x y z x+y+z=xyz x + y + z = x y z .
(1)证明：x y z + y z x + z x y ≥ x + y + z − 1 \frac{x}{\sqrt{yz}}+\frac{y}{\sqrt{zx}}+\frac{z}{\sqrt{xy}} ≥ x+y+z-1 y z x + z x y + x y z ≥ x + y + z − 1 .
(2)求x 2 + y 2 + z 2 ( x y + y z + z x ) 2 \frac{x^2+y^2+z^2}{(xy+yz+zx)^2} ( x y + y z + z x ) 2 x 2 + y 2 + z 2 的最小值.
解：