八年级下册几何综合测试卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、填空题（每空2分，共20分）

二、选择题（每题3分，共12分）

1. 下列条件中，不能判定四边形 $ABCD$ 是平行四边形的是（______）

A. $AB \parallel CD$， $AD \parallel BC$ B. $AB = CD$， $AD = BC$ C. $\angle A = \angle C$， $\angle B = \angle D$ D. $AB \parallel CD$， $AD = BC$

2. 关于矩形的性质，以下说法错误的是（______）

A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 四个角都是直角 D. 是轴对称图形

3. 若一个多边形的每一个外角都等于 $40^\circ$，则这个多边形的边数是（______）

A. 8 B. 9 C. 10 D. 12

4. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$， $E$， $F$ 分别是 $AB$， $BC$， $CA$ 的中点。若 $\triangle DEF$ 的周长为 $10$，则 $\triangle ABC$ 的周长为（______）

A. 5 B. 10 C. 20 D. 40

三、解答与证明题（共68分）

1. （8分）已知一个多边形的内角和比它的外角和的 $3$ 倍少 $180^\circ$，求这个多边形的边数。

解：

2. （10分）在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$D$ 是 $AB$ 边的中点，$E$、$F$ 分别是 $AC$、$BC$ 上的点，且 $DE \perp DF$。连接 $EF$。求证：$EF^2 = AE^2 + BF^2$。

证明：

3. （10分）如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AD \parallel BC$，$E$、$F$ 分别是 $AB$、$CD$ 的中点。

(1) 求证：$EF \parallel AD \parallel BC$；

(2) 若 $AD = 5$，$BC = 13$，求 $EF$ 的长。

解：(1)

(2)

4. （12分）如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，$E$、$F$、$G$ 分别是 $AB$、$AD$、$AC$ 的中点。

(1) 求证：四边形 $AEDG$ 是菱形；

(2) 若 $BC = 16$，$AD = 6$，求四边形 $AEDG$ 的面积。

解：(1)

(2)

5. （14分）如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$，点 $E$、$F$、$G$、$H$ 分别是 $AO$、$BO$、$CO$、$DO$ 的中点。

(1) 求证：四边形 $EFGH$ 是平行四边形；

(2) 当平行四边形 $ABCD$ 满足什么条件时，四边形 $EFGH$ 是矩形？请说明理由；

(3) 在(2)的条件下，若 $AB = 6$，$BC = 8$，求矩形 $EFGH$ 的面积。

解：(1)

(2)

(3)

6. （14分）综合与实践：

某小区计划在一块呈四边形 $ABCD$ 的空地上修建一条矩形健身步道 $EFGH$（$E$、$F$、$G$、$H$ 分别在 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ 边上）。已知空地 $ABCD$ 中，$AD \parallel BC$，$AD = 20$ 米，$BC = 30$ 米，$AB = 15$ 米，$\angle B = 90^\circ$。设计要求步道 $EFGH$ 的边 $EF$ 在 $BC$ 上，$HG$ 在 $AD$ 上，且 $EH \perp AD$。

(1) 若要求步道宽度 $EH = 8$ 米，求步道的长度 $EF$；

(2) 若要求步道的面积恰好为空地 $ABCD$ 面积的一半，求步道的宽度 $EH$。

解：(1)

(2)