初中九年级一元二次方程单元测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 所有答案必须写在答题区域内，写在试卷上或草稿纸上无效。

3. 保持卷面整洁，字迹工整。

4. 考试结束时，将试卷和草稿纸一并上交。

一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）

1. 下列方程中，是关于 $x$ 的一元二次方程的是（______）

A. $x^2 + \frac{1}{x} = 2$ B. $ax^2 + bx + c = 0$ C. $(x-1)(x+2)=1$ D. $3x + 2y = 5$

2. 一元二次方程 $x^2 - 6x + 5 = 0$ 配方后可变形为（______）

A. $(x-3)^2 = 4$ B. $(x-3)^2 = 14$ C. $(x+3)^2 = 4$ D. $(x+3)^2 = 14$

3. 方程 $x^2 = 3x$ 的解是（______）

A. $x = 3$ B. $x = 0$ C. $x_1 = 0, x_2 = 3$ D. $x_1 = 0, x_2 = -3$

4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 4x + k = 0$ 有两个相等的实数根，则 $k$ 的值为（______）

A. $k = 4$ B. $k = -4$ C. $k > 4$ D. $k < 4$

5. 已知 $m$ 是方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的一个根，则代数式 $m^2 - m + 2024$ 的值等于（______）

A. $2022$ B. $2023$ C. $2024$ D. $2025$

6. 某商品原价为 $200$ 元，连续两次降价 $a\%$ 后售价为 $128$ 元，下列方程正确的是（______）

A. $200(1 + a\%)^2 = 128$ B. $200(1 - a\%)^2 = 128$ C. $200(1 - 2a\%) = 128$ D. $200(1 - a^2\%) = 128$

7. 已知三角形两边的长分别是 $3$ 和 $6$，第三边的长是方程 $x^2 - 6x + 8 = 0$ 的一个根，则这个三角形的周长为（______）

A. $11$ B. $13$ C. $11$ 或 $13$ D. $12$

8. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k-1)x^2 + 2x - 2 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（______）

A. $k > \frac{1}{2}$ B. $k \ge \frac{1}{2}$ C. $k > \frac{1}{2}$ 且 $k \ne 1$ D. $k \ge \frac{1}{2}$ 且 $k \ne 1$

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

请将答案直接写在横线上。

三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分）

用适当的方法解下列方程：

四、解答题（共3小题，第19题6分，第20、21题各8分，共22分）

19. 已知关于 $x$ 的方程 $x^2 + (2k-1)x + k^2 - 1 = 0$ 有两个实数根 $x_1, x_2$。

（1）求实数 $k$ 的取值范围；

（2）若 $x_1, x_2$ 满足 $x_1^2 + x_2^2 = 9$，求 $k$ 的值。

答：

（1）________________________________________

（2）________________________________________

20. 如图，要利用一面墙（墙长 $25$ 米）建羊圈，用 $100$ 米的围栏围成总面积为 $400$ 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 $AB$ 和 $BC$ 各为多少米？

（注：题目中“如图”仅为情境描述，无需画图）

答：________________________________________

21. 某水果店销售一种水果，每千克盈利 $10$ 元，每天可售出 $500$ 千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 $1$ 元，日销售量将减少 $20$ 千克。

（1）现该店要保证每天盈利 $6000$ 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该店单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？

答：

（1）________________________________________

（2）________________________________________

五、综合探究题（共1小题，共16分）

22. 阅读材料：为解方程 $(x^2-1)^2 - 5(x^2-1) + 4 = 0$，我们可以将 $x^2-1$ 视为一个整体，然后设 $x^2-1 = y$，则原方程可化为 $y^2 - 5y + 4 = 0$……①，解得 $y_1 = 1, y_2 = 4$。

当 $y = 1$ 时，$x^2 - 1 = 1$，$\therefore x^2 = 2$，$\therefore x = \pm \sqrt{2}$；

当 $y = 4$ 时，$x^2 - 1 = 4$，$\therefore x^2 = 5$，$\therefore x = \pm \sqrt{5}$。

$\therefore$ 原方程的解为 $x_1 = \sqrt{2}, x_2 = -\sqrt{2}, x_3 = \sqrt{5}, x_4 = -\sqrt{5}$。

解答问题：

（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用了______法，达到了降次的目的，体现了______的数学思想。（4分）

（2）仿照上述方法解方程：$x^4 - x^2 - 6 = 0$。（6分）

（3）拓展应用：解方程：$(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8 = 0$。（6分）

答：

（1）______，______。

（2）________________________________________

（3）________________________________________

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共24分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

9. $3$，$-3$ （每空1.5分）

10. $8$

11. $2$，$2$ （第一空1分，第二空2分）

12. $5$，$6$ （第一空1分，第二空2分）

13. $\frac{1}{2}x(x+3) = 9$ 或 $x^2 + 3x - 18 = 0$

14. $1 + x + x^2 = 91$ 或 $x^2 + x - 90 = 0$

三、计算题（每小题5分，共20分）

15. 解：$(x-5)(x+1)=0$ …………（2分）

$\therefore x-5=0$ 或 $x+1=0$ …………（1分）

$\therefore x_1 = 5, x_2 = -1$ …………（2分）

16. 解：$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 1$ …………（1分）

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{3 \pm 1}{4}$ …………（2分）

$\therefore x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{2}$ …………（2分）

17. 解：原方程可化为 $x(2x-5) - 2(2x-5) = 0$ …………（1分）

$(2x-5)(x-2) = 0$ …………（2分）

$\therefore 2x-5=0$ 或 $x-2=0$ …………（1分）

$\therefore x_1 = \frac{5}{2}, x_2 = 2$ …………（1分）

18. 解：$(x-3)^2 - (2x+1)^2 = 0$ …………（1分）

$[(x-3)+(2x+1)][(x-3)-(2x+1)] = 0$ …………（2分）

$(3x-2)(-x-4) = 0$ …………（1分）

$\therefore 3x-2=0$ 或 $-x-4=0$

$\therefore x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -4$ …………（1分）

四、解答题（共22分）

19. （6分）

解：（1）$\because$ 方程有两个实数根，

$\therefore \Delta = (2k-1)^2 - 4 \times 1 \times (k^2 - 1) \ge 0$ …………（1分）

即 $4k^2 - 4k + 1 - 4k^2 + 4 \ge 0$

$\therefore -4k + 5 \ge 0$

解得 $k \le \frac{5}{4}$ …………（1分）

（2）由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = -(2k-1) = 1-2k$， $x_1 x_2 = k^2 - 1$ …………（1分）

$\because x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 9$

$\therefore (1-2k)^2 - 2(k^2 - 1) = 9$ …………（1分）

即 $1 - 4k + 4k^2 - 2k^2 + 2 = 9$

整理得 $2k^2 - 4k - 6 = 0$，即 $k^2 - 2k - 3 = 0$

解得 $k_1 = 3, k_2 = -1$ …………（1分）

由（1）知 $k \le \frac{5}{4}$， $\therefore k = -1$ …………（1分）

20. （8分）

解：设 $AB$ 的长度为 $x$ 米，则 $BC$ 的长度为 $(100-4x)$ 米。 …………（2分）

根据题意得：$x(100-4x) = 400$ …………（2分）

整理得：$x^2 - 25x + 100 = 0$

解得：$x_1 = 5, x_2 = 20$ …………（2分）

当 $x=5$ 时，$100-4x=80 > 25$（墙长），不合题意，舍去。

当 $x=20$ 时，$100-4x=20 < 25$，符合题意。 …………（1分）

答：羊圈的边长 $AB$ 为 $20$ 米， $BC$ 为 $20$ 米。 …………（1分）

21. （8分）

解：（1）设每千克应涨价 $x$ 元。 …………（1分）

根据题意得：$(10+x)(500-20x) = 6000$ …………（1分）

整理得：$x^2 - 15x + 50 = 0$

解得：$x_1 = 5, x_2 = 10$ …………（1分）

$\because$ 要使顾客得到实惠， $\therefore x = 5$。

答：每千克应涨价 $5$ 元。 …………（1分）

（2）设每千克涨价 $m$ 元，总利润为 $W$ 元。

则 $W = (10+m)(500-20m) = -20m^2 + 300m + 5000$ …………（2分）

$\because a = -20 < 0$， $\therefore$ 抛物线开口向下， $W$ 有最大值。

当 $m = -\frac{300}{2 \times (-20)} = 7.5$ 时， $W_{最大}$。 …………（1分）

答：每千克涨价 $7.5$ 元时，商场获利最多。 …………（1分）

五、综合探究题（共16分）

22. （1）换元，转化（或整体代入）。 （每空2分）

（2）解：设 $x^2 = y$，则原方程可化为 $y^2 - y - 6 = 0$ …………（1分）

解得 $y_1 = 3, y_2 = -2$ …………（1分）

当 $y = 3$ 时，$x^2 = 3$， $\therefore x = \pm \sqrt{3}$ …………（1分）

当 $y = -2$ 时，$x^2 = -2$，此方程无实数根。 …………（1分）

$\therefore$ 原方程的解为 $x_1 = \sqrt{3}, x_2 = -\sqrt{3}$。 …………（2分）

（3）解：设 $x^2 + 3x = t$，则原方程可化为 $t^2 - 2t - 8 = 0$ …………（1分）

解得 $t_1 = 4, t_2 = -2$ …………（1分）

当 $t = 4$ 时，$x^2 + 3x = 4$，即 $x^2 + 3x - 4 = 0$，解得 $x_1 = 1, x_2 = -4$ …………（1分）

当 $t = -2$ 时，$x^2 + 3x = -2$，即 $x^2 + 3x + 2 = 0$，解得 $x_3 = -1, x_4 = -2$ …………（1分）

$\therefore$ 原方程的解为 $x_1 = 1, x_2 = -4, x_3 = -1, x_4 = -2$。 …………（2分）