二次函数压轴题专项练习（竞赛难度）

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（共5题，每题5分）

1. 已知二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的图象经过点 $(1, 2)$，且对任意实数 $x$，都有 $f(x) \ge 2x$ 成立，则 $a+b+c$ 的最小值为（______）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 设二次函数 $f(x) = x^2 + px + q$ 的图象与 $x$ 轴交于两点 $A(\alpha, 0), B(\beta, 0)$，且 $|\alpha| < 2, |\beta| < 2$。若 $f(2) = 5$，则 $|p| + |q|$ 的最大值为（______）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

3. 已知函数 $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$，若方程 $f(x) = kx$ 恰有四个不相等的实数根，则实数 $k$ 的取值范围是（______）

A. $(0, \frac{1}{4})$ B. $(0, \frac{1}{2})$ C. $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$ D. $(\frac{1}{2}, 1)$

4. 设 $a, b, c$ 为实数，且 $a > 0$。二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 满足：对任意 $x \in [-1, 1]$，都有 $|f(x)| \le 1$。则 $|a| + |b| + |c|$ 的最大可能值为（______）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5. 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，且满足 $f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy$ 对任意实数 $x, y$ 成立，且 $f(1) = 2$。若不等式 $f(x) \ge x^2 + ax + b$ 对一切 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立，则 $a+2b$ 的最大值为（______）

A. -1 B. 0 C. 1 D. 2

二、填空题（共5题，每题6分）

1. 若关于 $x$ 的方程 $|x^2 - 4x + 3| = mx$ 有且仅有三个不同的实数解，则实数 $m$ 的值为 ______。

2. 已知二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 满足 $f(2) = f(-1)$，且最小值为 $-\frac{1}{4}$。若方程 $f(x) = x$ 的两根 $x_1, x_2$ 满足 $|x_1 - x_2| = 2$，则 $a =$ ______。

3. 设 $f(x) = x^2 + ax + b$，若存在实数 $m, n (m < n)$，使得当 $x \in [m, n]$ 时，$f(x)$ 的值域恰好为 $[m, n]$，则称 $[m, n]$ 为函数 $f(x)$