人教版八年级下册数学期末测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、学号、班级填写在试卷指定位置。

2. 请用黑色签字笔作答，保持卷面整洁。

3. 所有答案必须写在试卷的答题区域内，超出区域无效。

4. 考试结束时，将试卷交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 若二次根式 $\sqrt{x-2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（______）

A. $x > 2$ B. $x \ge 2$ C. $x < 2$ D. $x \le 2$

2. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（______）

A. 1, 2, 3 B. 2, 3, 4 C. 3, 4, 5 D. 4, 5, 6

3. 在平行四边形 $ABCD$ 中，若 $\angle A + \angle C = 200^\circ$，则 $\angle B$ 的度数是（______）

A. $80^\circ$ B. $90^\circ$ C. $100^\circ$ D. $160^\circ$

4. 一次函数 $y = -2x + 3$ 的图象不经过的象限是（______）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5. 甲、乙、丙、丁四名同学进行跳远测试，每人跳10次，他们的平均成绩相同，方差分别为 $S_甲^2=0.65$，$S_乙^2=0.55$，$S_丙^2=0.50$，$S_丁^2=0.45$，则成绩最稳定的是（______）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

6. 下列计算正确的是（______）

A. $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B. $3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$ C. $\sqrt{8} \div \sqrt{2} = 2$ D. $\sqrt{(-3)^2} = -3$

7. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（______）

A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等

8. 将直线 $y = 2x - 1$ 向上平移2个单位长度后，所得直线的解析式为（______）

A. $y = 2x + 1$ B. $y = 2x - 3$ C. $y = 2x$ D. $y = 2x + 3$

9. 如图（描述性文字），在 $\triangle ABC$ 中，$D, E, F$ 分别是 $AB, BC, CA$ 的中点。若 $AC=8$，$BC=10$，则四边形 $ADEF$ 的周长为（______）

A. 18 B. 20 C. 24 D. 28

10. 某快递公司每天上午9:00-10:00为集中揽件时间，甲仓库揽收快件 $y$（件）与时间 $x$（分）的函数关系如图所示（描述性文字），乙仓库揽收快件 $y$（件）与时间 $x$（分）的函数关系为 $y=4x$。下列说法正确的是（______）

A. 9:30时，甲仓库比乙仓库揽收的快件多50件。

B. 甲仓库揽收快件的总数量为400件。

C. 经过20分钟，两仓库揽收快件数一样多。

D. 在 $0 \le x \le 60$ 时间内，甲仓库揽收速度始终比乙仓库快。

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

17. 计算：$\sqrt{12} - 3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27}$。

解：

18. 已知一次函数的图象经过点 $A(0, -2)$ 和点 $B(1, 1)$，求这个一次函数的解析式。

解：

19. 如图（描述性文字），在四边形 $ABCD$ 中，$AB=3$，$BC=4$，$CD=12$，$AD=13$，$\angle B=90^\circ$。求四边形 $ABCD$ 的面积。

解：

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

20. 某校八年级举行“数学知识竞赛”，从八年级（1）班和（2）班各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析，成绩得分用 $x$ 表示，共分成四组：A. $60 \le x < 70$，B. $70 \le x < 80$，C. $80 \le x < 90$，D. $90 \le x \le 100$。下面给出了部分信息：

八年级（1）班10名学生的成绩是：66，75，77，80，82，84，86，88，95，96。

八年级（2）班10名学生的成绩在C组中的数据是：81，83，86，87。

根据以上信息，解答下列问题：

（1）八年级（2）班C组人数占抽取总人数的百分比是 ______%；

（2）八年级（1）班10名学生成绩的中位数是 ______，众数是 ______；

（3）若八年级（2）班10名学生成绩的平均数是83分，请计算其方差。

解：

21. 如图（描述性文字），在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 分别在边 $AD$，$BC$ 上，且 $AE = CF$，连接 $BE$，$DF$。

求证：四边形 $BFDE$ 是平行四边形。

证明：

22. 某商场销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元，每周可卖出200件。市场调查发现：每降价1元，每周可多卖出20件。现商场决定降价销售，设每件商品降价 $x$ 元（$x$ 为正整数），每周的销售利润为 $y$ 元。

（1）求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

（2）当售价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少？

解：

五、解答题（三）（本大题共1小题，共10分）

23. 如图（描述性文字），在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l_1: y = \frac{1}{2}x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$，与 $y$ 轴交于点 $B$。直线 $l_2$ 与 $l_1$ 平行，且与 $x$ 轴交于点 $C(8, 0)$。点 $M$ 是线段 $AC$ 上的一个动点（不与 $A$，$C$ 重合），过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，分别交 $l_1$，$l_2$ 于点 $D$，$E$。

（1）求直线 $l_2$ 的解析式；

（2）设点 $M$ 的横坐标为 $m$，求线段 $DE$ 的长（用含 $m$ 的代数式表示）；

（3）连接 $BM$，当 $\triangle BDM$ 是等腰三角形时，求点 $M$ 的坐标。

解：

参考答案及评分标准

一、选择题（每小题3分，共30分）

二、填空题（每小题3分，共18分）

三、解答题（一）（每小题6分，共18分）

17. 解：原式 $= 2\sqrt{3} - 3 \times \frac{\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3}$ …………（3分）

$= 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3}$ …………（5分）

$= 4\sqrt{3}$ …………（6分）

18. 解：设一次函数解析式为 $y = kx + b$ $(k \neq 0)$。

将 $A(0, -2)$，$B(1, 1)$ 代入得：

$\begin{cases} b = -2 \\ k + b = 1 \end{cases}$ …………（3分）

解得：$\begin{cases} k = 3 \\ b = -2 \end{cases}$ …………（5分）

∴ 这个一次函数的解析式为 $y = 3x - 2$。 …………（6分）

19. 解：连接 $AC$。

∵ $\angle B=90^\circ$，$AB=3$，$BC=4$，

∴ 在 Rt$\triangle ABC$ 中，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2+4^2} = 5$。 …………（2分）

在 $\triangle ACD$ 中，$AC=5$，$CD=12$，$AD=13$，

∵ $5^2 + 12^2 = 25+144=169=13^2$，即 $AC^2 + CD^2 = AD^2$，

∴ $\triangle ACD$ 是直角三角形，且 $\angle ACD=90^\circ$。 …………（4分）

∴ $S_{四边形ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD}$

$= \frac{1}{2} \times AB \times BC + \frac{1}{2} \times AC \times CD$

$= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 + \frac{1}{2} \times 5 \times 12$

$= 6 + 30 = 36$。 …………（6分）

答：四边形 $ABCD$ 的面积为36。

四、解答题（二）（每小题8分，共24分）

20. 解：（1）40； …………（2分）

（2）83，无众数（或写“没有”）； …………（4分）

（3）设（2）班被抽学生成绩为（从小到大）：$x_1, x_2, ..., x_{10}$，平均数为 $\bar{x}=83$。

由题意，C组有4人，成绩为81, 83, 86, 87。则A、B、D三组共有6人，成绩总和为 $83 \times 10 - (81+83+86+87) = 830 - 337 = 493$。

为简化计算，设这6个成绩与平均数的偏差平方和最小情况（如均接近平均数），但根据方差公式 $S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$，我们只需知道具体数据。题目未给出（2）班全部数据，此处仅提供思路：将10个具体成绩代入方差公式计算。

（评分说明：第（3）问因数据不全，若学生写出方差公式 $S^2 = \frac{1}{10}[(x_1-83)^2+...+(x_{10}-83)^2]$ 并说明需要全部数据，可得2分；若假设合理数据并计算出具体值，过程正确也可得分。）

21. 证明：∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，

∴ $AD \parallel BC$，$AD = BC$。 …………（2分）

∵ $AE = CF$，

∴ $AD - AE = BC - CF$，即 $DE = BF$。 …………（4分）

又 ∵ $DE \parallel BF$， …………（6分）

∴ 四边形 $BFDE$ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。 …………（8分）

22. 解：（1）由题意，每件商品的利润为 $(30 - x - 20) = (10 - x)$ 元， …………（1分）

每周销售量为 $(200 + 20x)$ 件。 …………（2分）

∴ 每周利润 $y = (10 - x)(200 + 20x)$ …………（3分）

$= -20x^2 + 2000$。 …………（4分）

（2）∵ $y = -20x^2 + 2000$，且 $-20 < 0$，

∴ 当 $x = 0$ 时，$y$ 有最大值，最大值为2000。 …………（7分）

此时售价为 $30 - 0 = 30$（元）。

 答：当售价定为30元时，每周销售利润最大，最大利润为2000元。 …………（8分）

五、解答题（三）（共10分）

23. 解：（1）∵ $l_2 \parallel l_1$，且 $l_1: y = \frac{1}{2}x + 2$，

∴ 设 $l_2: y = \frac{1}{2}x + b$。 …………（1分）

将 $C(8, 0)$ 代入得：$0 = \frac{1}{2} \times 8 + b$，解得 $b = -4$。

∴ 直线 $l_2$ 的解析式为 $y = \frac{1}{2}x - 4$。 …………（2分）

（2）对于 $l_1: y = \frac{1}{2}x + 2$，当 $x = m$ 时，$y_D = \frac{1}{2}m + 2$。

对于 $l_2: y = \frac{1}{2}x - 4$，当 $x = m$ 时，$y_E = \frac{1}{2}m - 4$。 …………（4分）

∴ $DE = |y_D - y_E| = |(\frac{1}{2}m + 2) - (\frac{1}{2}m - 4)| = 6$。 …………（5分）

（3）由 $l_1: y = \frac{1}{2}x + 2$，令 $y=0$，得 $x=-4$，∴ $A(-4, 0)$。令 $x=0$，得 $y=2$，∴ $B(0, 2)$。

∵ $M$ 在 $AC$ 上，$A(-4,0)$，$C(8,0)$，∴ 设 $M(m, 0)$，其中 $-4 < m < 8$。

则 $D(m, \frac{1}{2}m+2)$。$BD^2 = (m-0)^2 + (\frac{1}{2}m+2-2)^2 = m^2 + \frac{1}{4}m^2 = \frac{5}{4}m^2$。

$BM^2 = (m-0)^2 + (0-2)^2 = m^2 + 4$。

$DM^2 = (m-m)^2 + (0 - (\frac{1}{2}m+2))^2 = (\frac{1}{2}m+2)^2$。

当 $\triangle BDM$ 为等腰三角形时，分三种情况：

① 当 $BD = BM$ 时，$\frac{5}{4}m^2 = m^2 + 4$，解得 $m^2 = 16$，$m = \pm 4$。

∵ $-4 < m < 8$，∴ $m = 4$。此时 $M(4, 0)$。 …………（7分）

② 当 $BD = DM$ 时，$\frac{5}{4}m^2 = (\frac{1}{2}m+2)^2$，即 $\frac{5}{4}m^2 = \frac{1}{4}m^2 + 2m + 4$，

整理得 $m^2 - 2m - 4 = 0$，解得 $m = 1 \pm \sqrt{5}$。

∵ $-4 < m < 8$，∴ $m = 1 + \sqrt{5}$ 或 $m = 1 - \sqrt{5}$。

此时 $M(1+\sqrt{5}, 0)$ 或 $M(1-\sqrt{5}, 0)$。 …………（9分）

③ 当 $BM = DM$ 时，$m^2 + 4 = (\frac{1}{2}m+2)^2$，即 $m^2 + 4 = \frac{1}{4}m^2 + 2m + 4$，

整理得 $\frac{3}{4}m^2 - 2m = 0$，解得 $m = 0$ 或 $m = \frac{8}{3}$。

当 $m=0$ 时，$M$ 与原点重合，$D(0,2)$ 与 $B$ 重合，不能构成三角形，舍去。

∴ $m = \frac{8}{3}$。此时 $M(\frac{8}{3}, 0)$。 …………（10分）

综上所述，当 $\triangle BDM$ 是等腰三角形时，点 $M$ 的坐标为 $(4, 0)$，$(1+\sqrt{5}, 0)$，$(1-\sqrt{5}, 0)$ 或 $(\frac{8}{3}, 0)$。