人教版八年级下册数学 最值问题专题练习

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、填空题（共8题，每题3分）

请直接填写答案：

二、选择题（共4题，每题4分）

1. 如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$，点 $E$ 是 $AB$ 的中点，点 $P$ 是对角线 $BD$ 上的动点，则 $PE+PA$ 的最小值为（______）

A. $2\sqrt{2}$ B. $4$ C. $2\sqrt{5}$ D. $2\sqrt{3}$

2. 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 5$，当 $0 \le x \le 3$ 时，函数 $y$ 的最值情况是（______）

A. 有最大值 $5$，最小值 $1$ B. 有最大值 $5$，最小值 $2$ C. 有最大值 $2$，最小值 $1$ D. 有最大值 $5$，无最小值

3. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$，$D$、$E$ 分别是 $AC$、$BC$ 上的动点，且 $DE \parallel AB$，则 $DE$ 的最小长度为（______）

A. $4.8$ B. $5$ C. $4$ D. $3.6$

4. 下列命题中，正确的是（______）

A. 两点之间，直线最短。

B. 垂线段最短是一个公理。

C. 在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

D. 三角形任意两边之差小于第三边可用于求线段的最大值。

三、解答题（共3题，第1题10分，第2、3题各12分）

1. （“造桥选址”问题）如图，$A$、$B$ 两村位于一条河的两岸，假定河的两岸笔直且平行。现要在河上垂直于河岸建一座桥 $PQ$（$P$ 在河的一岸，$Q$ 在另一岸），使得从 $A$ 村经过桥到 $B$ 村的路径 $AP+PQ+QB$ 最短。请说明确定桥 $PQ$ 位置的方法，并证明其路径最短。

答：____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________

2. 某农场计划用一段长为 $60$ 米的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园 $ABCD$。设垂直于墙的一边 $AB$ 的长为 $x$ 米，矩形菜园的面积为 $S$ 平方米。

（1）求 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当 $x$ 为何值时，围成的菜园面积 $S$ 最大？最大面积是多少？

答：（1）________________________________________________________________________________

（2）________________________________________________________________________________

3. 如图，圆柱形玻璃杯的高为 $18$ cm，底面周长为 $24$ cm。在杯内离杯底 $4$ cm 的点 $C$ 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 $2$ cm 与蜂蜜相对的点 $A$ 处。

（1）求蚂蚁从外壁 $A$ 处到达内壁蜂蜜 $C$ 处的最短路径长；

（2）若蚂蚁沿着（1）中的最短路径爬行，求它从 $A$ 点到达 $C$ 点需要爬行的最短路程。

（提示：可将圆柱侧面展开，利用勾股定理 $a^2+b^2=c^2$ 计算）

答：（1）________________________________________________________________________________

（2）________________________________________________________________________________