高考数学椭圆专题解答题复习卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、基础综合题（共3题）

1. （12分） 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，且过点 $P(1, \frac{3}{2})$。

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；

（2）设直线 $l: y = kx + 1$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|AB| = \frac{4\sqrt{6}}{3}$，求 $k$ 的值。

答：（1）________________________________________

（2）________________________________________

2. （12分） 已知椭圆 $E: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$，点 $F_1, F_2$ 分别为其左、右焦点。

（1）求椭圆 $E$ 的焦距；

（2）点 $M$ 在椭圆 $E$ 上，且 $\angle F_1MF_2 = 60^\circ$，求 $\triangle F_1MF_2$ 的面积。

答：（1）________________________________________

（2）________________________________________

3. （12分） 设椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$，直线 $l$ 过点 $Q(1, 0)$ 且与 $\Gamma$ 相交于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在 $x$ 轴上方）。

（1）若直线 $l$ 的倾斜角为 $\alpha$，求 $|AB|$ 关于 $\alpha$ 的表达式；

（2）若 $O$ 为坐标原点，且 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -\frac{5}{4}$，求直线 $l$ 的方程。

答：（1）________________________________________

（2）________________________________________

二、综合与探究题（共3题）

4. （14分） 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b > 0)$ 的右焦点为 $F(\sqrt{3}, 0)$，且椭圆 $C$ 上任意一点到两焦点 $F_1, F_2$ 的距离之和为 $4$。

（1）求椭圆 $C$ 的方程；

（2）设过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P, Q$ 两点。若 $\overrightarrow{FP} = 2\overrightarrow{FQ}$，求直线 $l$ 的方程；

（3）在（2）的条件下，求 $\triangle OPQ$ 的面积（$O$ 为坐标原点）。

答：（1）________________________________________

 （2）________________________________________

 （3）________________________________________

5. （14分） 已知椭圆 $C: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，点 $A(0, 1)$。

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