应用高等数学（下）期末考试试卷
姓名：________________ 班级：________________
完成时间：_______ 分钟 得分：_______
一、选择题（每题3分，共30分） 1. 函数 f ( x ) = sin x x f(x) = \frac{\sin x}{x} f ( x ) = x s i n x 在 x = 0 x=0 x = 0 处的极限是（______）
A. 0 B. 1 C. 不存在 D. ∞
2. 设 y = e x 2 y = e^{x^2} y = e x 2 ，则 d y = dy = d y = （______）
A. e x 2 d x e^{x^2} dx e x 2 d x B. 2 x e x 2 d x 2xe^{x^2} dx 2 x e x 2 d x C. x 2 e x 2 d x x^2 e^{x^2} dx x 2 e x 2 d x D. 2 e x 2 d x 2e^{x^2} dx 2 e x 2 d x
3. 函数 f ( x ) = x 3 − 3 x f(x) = x^3 - 3x f ( x ) = x 3 − 3 x 的单调递减区间是（______）
A. ( − 1 , 1 ) (-1, 1) ( − 1 , 1 ) B. ( − ∞ , − 1 ) (-\infty, -1) ( − ∞ , − 1 ) C. ( 1 , + ∞ ) (1, +\infty) ( 1 , + ∞ ) D. ( − ∞ , − 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) ( − ∞ , − 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ )
4. 不定积分 ∫ cos 2 x d x \int \cos 2x \, dx ∫ cos 2 x d x 等于（______）
A. 1 2 sin 2 x + C \frac{1}{2} \sin 2x + C 2 1 sin 2 x + C B. 2 sin 2 x + C 2 \sin 2x + C 2 sin 2 x + C C. sin 2 x + C \sin 2x + C sin 2 x + C D. − 1 2 sin 2 x + C -\frac{1}{2} \sin 2x + C − 2 1 sin 2 x + C
5. 定积分 ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x \int_{0}^{1} (2x+1) \, dx ∫ 0 1 ( 2 x + 1 ) d x 的值是（______）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 微分方程 y ′ = 2 y y' = 2y y ′ = 2 y 的通解是（______）
A. y = C e 2 x y = Ce^{2x} y = C e 2 x B. y = e 2 x + C y = e^{2x} + C y = e 2 x + C C. y = C x 2 y = Cx^2 y = C x 2 D. y = 2 e C x y = 2e^{Cx} y = 2 e C x
7. 下列广义积分收敛的是（______）
A. ∫ 1 + ∞ 1 x d x \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} \, dx ∫ 1 + ∞ x 1 d x B. ∫ 1 + ∞ 1 x 2 d x \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx ∫ 1 + ∞ x 2 1 d x C. ∫ 0 1 1 x d x \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \, dx ∫ 0 1 x 1 d x D. ∫ 0 1 1 x 2 3 d x \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} \, dx ∫ 0 1 3 x 2 1 d x
8. 曲线 y = ln x y = \ln x y = ln x 在点 ( 1 , 0 ) (1, 0) ( 1 , 0 ) 处的切线方程是（______）
A. y = x − 1 y = x-1 y = x − 1 B. y = x y = x y = x C. y = 1 y = 1 y = 1 D. y = 0 y = 0 y = 0
9. 函数 z = 4 − x 2 − y 2 z = \sqrt{4 - x^2 - y^2} z = 4 − x 2 − y 2 的定义域是（______）
A. x 2 + y 2 ≤ 4 x^2 + y^2 \le 4 x 2 + y 2 ≤ 4 B. x 2 + y 2 < 4 x^2 + y^2 < 4 x 2 + y 2 < 4 C. x 2 + y 2 ≥ 4 x^2 + y^2 \ge 4 x 2 + y 2 ≥ 4 D. x 2 + y 2 > 4 x^2 + y^2 > 4 x 2 + y 2 > 4
10. 若 lim x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x \to x_0} f(x) = A lim x → x 0 f ( x ) = A ， lim x → x 0 g ( x ) \lim_{x \to x_0} g(x) lim x → x 0 g ( x ) 不存在，则 lim x → x 0 [ f ( x ) + g ( x ) ] \lim_{x \to x_0} [f(x) + g(x)] lim x → x 0 [ f ( x ) + g ( x )] （______）
A. 存在且等于 A B. 存在但不等于 A C. 一定不存在 D. 不一定存在
二、填空题（每题3分，共18分） 1. lim x → ∞ ( 1 + 2 x ) x = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^x = lim x → ∞ ( 1 + x 2 ) x = ______
2. 设 f ( x ) = x ln x f(x) = x \ln x f ( x ) = x ln x ，则 f ′ ( e ) = f'(e) = f ′ ( e ) = ______
3. 函数 f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 f(x) = x^2 - 2x + 3 f ( x ) = x 2 − 2 x + 3 的极小值是 ______
4. ∫ − 1 1 x cos x d x = \int_{-1}^{1} x \cos x \, dx = ∫ − 1 1 x cos x d x = ______
5. 微分方程 y ′ ′ + y = 0 y'' + y = 0 y ′′ + y = 0 的通解是 y = y = y = ______
6. 设 z = x 2 y z = x^2 y z = x 2 y ，则 ∂ z ∂ x = \frac{\partial z}{\partial x} = ∂ x ∂ z = ______
三、计算题（每题8分，共32分） 1. 求极限 lim x → 0 e 2 x − 1 sin 3 x \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{\sin 3x} lim x → 0 s i n 3 x e 2 x − 1 。
解：
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2. 设函数 y = arctan ( x ) y = \arctan(\sqrt{x}) y = arctan ( x ) ，求 d y d x \frac{dy}{dx} d x d y 。
解：
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3. 计算不定积分 ∫ x x 2 + 1 d x \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx ∫ x 2 + 1 x d x 。
解：
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4. 求解微分方程 d y d x = y x \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} d x d y = x y ，满足 y ∣ x = 1 = 2 y|_{x=1} = 2 y ∣ x = 1 = 2 。
解：
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四、应用题（每题10分，共20分） 1. 欲用围墙围成面积为 216 m 2 216 \text{m}^2 216 m 2 的一块矩形场地，并在正中用一堵墙将其隔成两块。问：这块场地的长、宽各为多少时，才能使所用建筑材料最省？
解：
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2. 已知曲线 y = x y = \sqrt{x} y = x ，直线 x = 1 x=1 x = 1 ， x = 4 x=4 x = 4 及 x x x 轴所围成的平面图形 D。
(1) 求图形 D 的面积；
(2) 求图形 D 绕 x x x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
解：
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五、证明题（本题10分） 设函数 f ( x ) f(x) f ( x ) 在闭区间 [ 0 , 1 ] [0, 1] [ 0 , 1 ] 上连续，在开区间 ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) 内可导，且 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f ( 0 ) = 0 ， f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 。证明：在 ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ξ \xi ξ ，使得 f ′ ( ξ ) = 2 ξ f'(\xi) = 2\xi f ′ ( ξ ) = 2 ξ 。
证明：
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参考答案
一、选择题 1. B
2. B
3. A
4. A
5. B
6. A
7. B
8. A
9. A
10. C
二、填空题 1. e 2 e^2 e 2
2. 2 2 2
3. 2 2 2
4. 0 0 0
5. C 1 cos x + C 2 sin x C_1 \cos x + C_2 \sin x C 1 cos x + C 2 sin x （C 1 , C 2 C_1, C_2 C 1 , C 2 为任意常数）
6. 2 x y 2xy 2 x y
三、计算题 1. 解：lim x → 0 e 2 x − 1 sin 3 x = lim x → 0 2 x 3 x = 2 3 \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3} lim x → 0 s i n 3 x e 2 x − 1 = lim x → 0 3 x 2 x = 3 2 。（使用等价无穷小：e 2 x − 1 ∼ 2 x e^{2x}-1 \sim 2x e 2 x − 1 ∼ 2 x ， sin 3 x ∼ 3 x \sin 3x \sim 3x sin 3 x ∼ 3 x ）
2. 解：令 u = x u = \sqrt{x} u = x ，则 y = arctan u y = \arctan u y = arctan u 。
d y d x = d y d u ⋅ d u d x = 1 1 + u 2 ⋅ 1 2 x = 1 1 + x ⋅ 1 2 x = 1 2 x ( 1 + x ) \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} d x d y = d u d y ⋅ d x d u = 1 + u 2 1 ⋅ 2 x 1 = 1 + x 1 ⋅ 2 x 1 = 2 x ( 1 + x ) 1 。
3. 解：∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ 1 x 2 + 1 d ( x 2 + 1 ) = 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + C \int \frac{x}{x^2 + 1} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 + 1} \, d(x^2+1) = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C ∫ x 2 + 1 x d x = 2 1 ∫ x 2 + 1 1 d ( x 2 + 1 ) = 2 1 ln ( x 2 + 1 ) + C 。
4. 解：分离变量得 d y y = d x x \frac{dy}{y} = \frac{dx}{x} y d y = x d x 。
两边积分：ln ∣ y ∣ = ln ∣ x ∣ + C 1 \ln|y| = \ln|x| + C_1 ln ∣ y ∣ = ln ∣ x ∣ + C 1 ，即 y = C x y = Cx y = C x （C = ± e C 1 C = \pm e^{C_1} C = ± e C 1 ）。
代入初值 x = 1 , y = 2 x=1, y=2 x = 1 , y = 2 ：2 = C ⋅ 1 2 = C \cdot 1 2 = C ⋅ 1 ，得 C = 2 C=2 C = 2 。
故特解为：y = 2 x y = 2x y = 2 x 。
四、应用题 1. 解：设场地长为 x x x 米，宽为 y y y 米，则面积为 x y = 216 xy=216 x y = 216 。所用材料总长度（围墙总长）为 L = 2 x + 3 y L = 2x + 3y L = 2 x + 3 y 。
由 x y = 216 xy=216 x y = 216 得 y = 216 x y = \frac{216}{x} y = x 216 ，代入得 L ( x ) = 2 x + 648 x L(x) = 2x + \frac{648}{x} L ( x ) = 2 x + x 648 ， ( x > 0 ) (x>0) ( x > 0 ) 。
求导：L ′ ( x ) = 2 − 648 x 2 L'(x) = 2 - \frac{648}{x^2} L ′ ( x ) = 2 − x 2 648 ，令 L ′ ( x ) = 0 L'(x)=0 L ′ ( x ) = 0 ，解得 x = 18 x=18 x = 18 （舍去负值）。
当 0 < x < 18 0 < x < 18 0 < x < 18 时，L ′ ( x ) < 0 L'(x) < 0 L ′ ( x ) < 0 ；当 x > 18 x > 18 x > 18 时，L ′ ( x ) > 0 L'(x) > 0 L ′ ( x ) > 0 ，故 x = 18 x=18 x = 18 时 L ( x ) L(x) L ( x ) 取极小值，也是最小值。
此时 y = 216 18 = 12 y = \frac{216}{18} = 12 y = 18 216 = 12 。
答：当场地长为18米，宽为12米时，所用材料最省。
2. 解：(1) 面积 S = ∫ 1 4 x d x = ∫ 1 4 x 1 2 d x = 2 3 x 3 2 ∣ 1 4 = 2 3 ( 8 − 1 ) = 14 3 S = \int_{1}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left. \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right|_{1}^{4} = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3} S = ∫ 1 4 x d x = ∫ 1 4 x 2 1 d x = 3 2 x 2 3 1 4 = 3 2 ( 8 − 1 ) = 3 14 。
(2) 体积 V = π ∫ 1 4 ( x ) 2 d x = π ∫ 1 4 x d x = π 1 2 x 2 ∣ 1 4 = π ⋅ 1 2 ( 16 − 1 ) = 15 π 2 V = \pi \int_{1}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{1}^{4} x \, dx = \pi \left. \frac{1}{2} x^2 \right|_{1}^{4} = \pi \cdot \frac{1}{2}(16 - 1) = \frac{15\pi}{2} V = π ∫ 1 4 ( x ) 2 d x = π ∫ 1 4 x d x = π 2 1 x 2 1 4 = π ⋅ 2 1 ( 16 − 1 ) = 2 15 π 。
五、证明题 证明：构造辅助函数 F ( x ) = f ( x ) − x 2 F(x) = f(x) - x^2 F ( x ) = f ( x ) − x 2 。
则 F ( x ) F(x) F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] 上连续，在 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 内可导，且 F ( 0 ) = f ( 0 ) − 0 = 0 F(0) = f(0) - 0 = 0 F ( 0 ) = f ( 0 ) − 0 = 0 ， F ( 1 ) = f ( 1 ) − 1 = 0 F(1) = f(1) - 1 = 0 F ( 1 ) = f ( 1 ) − 1 = 0 。
由罗尔定理，在 ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ξ \xi ξ ，使得 F ′ ( ξ ) = 0 F'(\xi) = 0 F ′ ( ξ ) = 0 。
即 f ′ ( ξ ) − 2 ξ = 0 f'(\xi) - 2\xi = 0 f ′ ( ξ ) − 2 ξ = 0 ，故 f ′ ( ξ ) = 2 ξ f'(\xi) = 2\xi f ′ ( ξ ) = 2 ξ 。证毕。