五年级北师大版奥数综合能力测试卷

（满分：100分 考试时间：80分钟）

完成时间：_______ 分钟     得分：_______

姓名：__________     学号：__________     班级：__________

题号	一	二	三	总分
分值	30	40	30	100
得分

注意事项：

1. 答题前，请将姓名、学号、班级填写清楚。

2. 请用黑色或蓝色钢笔、签字笔在指定区域内作答，保持卷面整洁。

3. 填空题直接填写最终结果，计算题需写出主要过程，应用题需写出完整的解题步骤。

4. 本试卷知识点覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率及综合应用，难度较高，旨在考察数学思维能力。

5. 考试时间为80分钟，请合理分配。

一、填空题（共10题，每题3分，共30分）

1. 一个三位数，它既是3的倍数，又是5的倍数，并且百位数字比十位数字大2，十位数字比个位数字大1。这个三位数是______。

2. 已知 $1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$，则 $11^2 + 12^2 + 13^2 + ... + 20^2$ 的和是______。

3. 一个最简分数，分子加上分母，分母加上分子，得到的新分数是 $\frac{7}{12}$。原来的分数是______。

4. 在一条长120米的道路两旁植树（两端都植），每相邻两棵树之间的距离是4米。如果改为每相邻两棵树之间的距离是6米，那么比原来少种______棵树。

5. 一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原来增加了56平方厘米。原来长方体的体积是______立方厘米。

6. 甲、乙两数的最大公因数是12，最小公倍数是180。已知甲数是36，则乙数是______。

7. 时钟在下午3点到4点之间，分针和时针重合的时刻是3点______分（用分数表示）。

8. 从1， 2， 3， ...， 2024中，最多可以取出______个数，使得取出的数中任意两个数的差都不是7。

9. 一个自然数除以5余3，除以7余5，除以9余7。满足条件的最小自然数是______。

10. 如图（示意），在梯形ABCD中，AD平行于BC，三角形AOD的面积为4平方厘米，三角形BOC的面积为9平方厘米。则梯形ABCD的面积是______平方厘米。（注：O为对角线AC与BD的交点）

二、计算题（共8题，每题5分，共40分）

（要求写出主要计算过程，能简算的要简算）

1. $2024 \times 20232023 - 2023 \times 20242024$

解：

2. $1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \frac{1}{1+2+3+4} + ... + \frac{1}{1+2+3+...+100}$

解：

3. $\frac{1}{1\times2\times3} + \frac{1}{2\times3\times4} + \frac{1}{3\times4\times5} + ... + \frac{1}{98\times99\times100}$

解：

4. $0.1\dot{2}8\dot{5}7\dot{1}4$ （循环节为285714）化成分数。

解：

5. 已知 $a = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2023}$， $b = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{2024}$， 比较 $a$ 与 $b$ 的大小，并说明理由。

解：

6. 解方程： $\frac{x}{2 \times 3} + \frac{x}{3 \times 4} + \frac{x}{4 \times 5} + ... + \frac{x}{2023 \times 2024} = 1$

解：

7. $(\frac{5}{7} + \frac{7}{9} + \frac{9}{11}) \div (\frac{1}{7} + \frac{1}{9} + \frac{1}{11})$

解：

8. $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \frac{31}{32} + \frac{63}{64} + \frac{127}{128} + \frac{255}{256}$

解：

三、解决问题（共6题，每题5分，共30分）

1. （行程问题）甲、乙两人在一条环形跑道上跑步，他们从同一地点同时出发，背向而行。甲每秒跑3米，乙每秒跑4米。已知环形跑道长420米，当他们第5次相遇时，甲一共跑了多少米？

解：

2. （工程与比例问题）一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，期间甲队休息了若干天，乙队没有休息。从开始到完工共用了16天。问甲队休息了多少天？

解：

3. （浓度问题）有甲、乙、丙三个容器，容量分别为10升、7升和3升。甲容器中装满浓度为10%的糖水，乙容器中装满浓度为20%的糖水，丙容器是空的。现在要通过倒来倒去（不浪费），使得甲、乙两个容器中的糖水浓度相同。请问最终甲容器中的糖水浓度是多少？

解：

4. （几何应用）一个长方体水箱，从里面量长6分米，宽5分米。先倒入一些水，再放入一个棱长为3分米的正方体铁块，这时水面刚好与铁块的上表面平齐。如果将这个铁块取出，水面会下降多少分米？

解：

5. （最值问题）将 $1, 2, 3, ..., 15$ 这15个自然数分成两组（每组至少一个数），使得两组数的乘积之差（大减小）最小。求这个最小的差值。

解：

6. （逻辑推理与统计）五年级一班有40名学生，其中25人参加了数学兴趣小组，20人参加了作文兴趣小组，有10人两个小组都参加了。现从该班随机抽取一名学生： (1) 这名学生只参加了一个兴趣小组的概率是多少？ (2) 如果已知这名学生参加了兴趣小组，那么他只参加了一个小组的概率是多少？

解：