河北省八年级人教版数学上册 · 三角形章节练习题

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、填空题（每空2分，共30分）

请将正确答案填写在横线上。

二、选择题（每题3分，共15分）

1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（______）

A. $1cm, 2cm, 3cm$    B. $2cm, 3cm, 5cm$    C. $3cm, 4cm, 5cm$    D. $4cm, 4cm, 9cm$

2. 一个三角形最多有（______）个钝角。

A. $0$    B. $1$    C. $2$    D. $3$

3. 如图（文字描述），$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，$BD=3$，则 $BC$ 的长为（______）

A. $1.5$    B. $3$    C. $6$    D. $12$

4. 若一个多边形的每个内角都等于 $144^\circ$，则这个多边形的边数是（______）

A. $8$    B. $9$    C. $10$    D. $12$

5. 下列说法正确的是（______）

A. 三角形的外角大于它的任何一个内角 B. 三角形的角平分线是射线

C. 三角形的三条高都在三角形内部 D. 三角形的三条中线相交于一点

三、解答题（共55分）

1. （8分）已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle A : \angle B : \angle C = 2:3:4$，求 $\triangle ABC$ 各个内角的度数。

解：

2. （10分）一个多边形的内角和比它的外角和的 $3$ 倍少 $180^\circ$，求这个多边形的边数。

解：

3. （12分）在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是 $BC$ 边上的高，$AE$ 是 $\angle BAC$ 的平分线。已知 $\angle B = 70^\circ$，$\angle C = 30^\circ$。

（1）求 $\angle DAE$ 的度数。

（2）试探究 $\angle DAE$ 与 $\angle B$、$\angle C$ 之间的数量关系。

解：

4. （12分）已知等腰三角形的周长为 $16cm$，其中一边长为 $4cm$，求另外两边的长。

解：

5. （13分）如图（文字描述），在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 边上一点，$\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$，$\angle BAC = 63^\circ$，求 $\angle DAC$ 的度数。

解：

参考答案与解析

一、填空题

解析：

4. 三角形内角和为 $180^\circ$，$\angle C = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$。

5. 设边数为 $n$，则 $(n-2) \times 180^\circ = 1080^\circ$，解得 $n=8$。

6. 多边形外角和为 $360^\circ$，正八边形每个外角为 $360^\circ \div 8 = 45^\circ$。

7. 三角形三边关系：两边之差 $<$ 第三边 $<$ 两边之和，即 $7-3 < x < 7+3$。

8. 直角三角形两锐角互余，$90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$。

9. 设 $\angle C = x$，则 $\angle A = \angle B = 2x$。由 $x + 2x + 2x = 180^\circ$，得 $x = 36^\circ$。

二、选择题

解析：

1. 根据三角形三边关系，$3+4>5$，能组成三角形。

2. 三角形内角和为 $180^\circ$，若有两个钝角（每个 $>90^\circ$），则和 $>180^\circ$，矛盾。

3. 中线将底边分为相等的两段，$BC = 2BD = 6$。

4. 每个外角为 $180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$，边数 $n = 360^\circ \div 36^\circ = 10$。

5. A错，钝角三角形的外角可能小于其相邻的内角（钝角）；B错，三角形的角平分线是线段；C错，钝角三角形有两条高在外部。

三、解答题

1. 解：设 $\angle A = 2x$，$\angle B = 3x$，$\angle C = 4x$。

根据三角形内角和定理，有 $2x + 3x + 4x = 180^\circ$。

解得 $x = 20^\circ$。

所以 $\angle A = 40^\circ$，$\angle B = 60^\circ$，$\angle C = 80^\circ$。

2. 解：设这个多边形的边数为 $n$。

其内角和为 $(n-2) \times 180^\circ$，外角和恒为 $360^\circ$。

根据题意，得 $(n-2) \times 180^\circ = 3 \times 360^\circ - 180^\circ$。

即 $(n-2) \times 180^\circ = 900^\circ$。

解得 $n-2 = 5$，$n = 7$。

答：这个多边形是七边形。

3. 解：

（1）在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ = 80^\circ$。

∵ $AE$ 平分 $\angle BAC$，∴ $\angle BAE = \angle CAE = \frac{1}{2} \angle BAC = 40^\circ$。

∵ $AD \perp BC$，∴ $\angle ADB = 90^\circ$。

在 $\triangle ABD$ 中，$\angle BAD = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$。

∴ $\angle DAE = \angle BAE - \angle BAD = 40^\circ - 20^\circ = 20^\circ$。

（2）由（1）的推导过程可知：

$\angle DAE = \angle BAE - \angle BAD = \frac{1}{2} \angle BAC - (90^\circ - \angle B)$

$= \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B - \angle C) - 90^\circ + \angle B$

$= 90^\circ - \frac{1}{2}\angle B - \frac{1}{2}\angle C - 90^\circ + \angle B$

$= \frac{1}{2}(\angle B - \angle C)$。

∴ $\angle DAE = \frac{1}{2} |\angle B - \angle C|$。（当 $\angle B > \angle C$ 时取正）

4. 解：分两种情况讨论：

① 当底边长为 $4cm$ 时，设腰长为 $x\ cm$。

则 $2x + 4 = 16$，解得 $x = 6$。

此时三边为 $6cm, 6cm, 4cm$，满足三角形三边关系。

② 当腰长为 $4cm$ 时，设底边长为 $y\ cm$。

则 $4 + 4 + y = 16$，解得 $y = 8$。

此时三边为 $4cm, 4cm, 8cm$。

∵ $4 + 4 = 8$，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能组成三角形。

综上所述，另外两边的长均为 $6cm$。

5. 解：

∵ $\angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$，

设 $\angle 1 = \angle 2 = x$，$\angle 3 = \angle 4 = y$。

在 $\triangle ABC$ 中，由三角形内角和定理：

$\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$。

即 $63^\circ + x + y = 180^\circ$。    (1)

在 $\triangle ADC$ 中，由三角形内角和定理：

$\angle DAC + \angle 3 + \angle C = 180^\circ$。

即 $\angle DAC + y + x = 180^\circ$。    (2)

由 (1) 式得 $x + y = 117^\circ$。

代入 (2) 式得 $\angle DAC + 117^\circ = 180^\circ$。

∴ $\angle DAC = 63^\circ$。