1. 答案：C

解答：设原数为 $x$，则新数为 $10x$。由题意得 $10x - x = 54$，解得 $9x = 54$，$x = 6$。

验证：原数6，末尾加0得60，60-6=54，符合。

2. 答案：B

解答：从第1层到第4层，实际爬了3层间隔（1→2，2→3，3→4），用时48秒，则每层间隔用时 $48 \div 3 = 16$ 秒。

从第1层到第8层，需爬7个间隔，总用时 $16 \times 7 = 112$ 秒。

3. 答案：D

解答：设鸡有 $x$ 只，兔有 $y$ 只。依题意列方程组： $$\begin{cases} x + y = 35 & \text{(头数)} \\ 2x + 4y = 94 & \text{(脚数)} \end{cases}$$

解法一（假设法）：假设全是鸡，则应有脚 $2 \times 35 = 70$ 只，比实际少 $94-70=24$ 只脚。每将一只鸡换成兔，脚数增加2只，故需换 $24 \div 2 = 12$ 次。所以兔有12只，鸡有 $35-12=23$ 只。

解法二（消元法）：由第一式得 $x = 35 - y$，代入第二式：$2(35-y) + 4y = 94$，解得 $y=12$，$x=23$。

4. 答案：A

解答：观察数列：1, 4, 9, 16, 25, ( ? ), 49, 64。这是完全平方数数列：$1^2$, $2^2$, $3^2$, $4^2$, $5^2$, $6^2$, $7^2$, $8^2$。故括号内应为 $6^2 = 36$。

5. 答案：B

解答：三角形面积 = $\frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$。底边BC=8cm，高是A到BC的垂线段长度。由图可知，高为6cm。

面积 = $\frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 \text{ cm}^2$。

图1：三角形ABC

6. 答案：C

解答：这是一个等差数列求和问题。首项 $a_1 = 1$，末项 $a_n = 99$，公差 $d = 2$。

项数 $n = (99 - 1) \div 2 + 1 = 50$。

和 $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \times n}{2} = \frac{(1 + 99) \times 50}{2} = 100 \times 25 = 2500$。

15. 甲、乙两车从相距600千米的两地同时相向而行，5小时后相遇。已知甲车速度是乙车的1.5倍，求甲、乙两车的速度。

解：

设乙车的速度为 $v$ 千米/时，则甲车的速度为 $1.5v$ 千米/时。

相向而行，速度和为 $v + 1.5v = 2.5v$。

根据路程 = 速度 × 时间：$2.5v \times 5 = 600$。

即 $12.5v = 600$，解得 $v = 600 \div 12.5 = 48$。

所以乙车速度：48千米/时，甲车速度：$1.5 \times 48 = 72$千米/时。

答：甲车速度为72千米/时，乙车速度为48千米/时。

16. 求 $1 + 3 + 5 + 7 + \cdots + 199$ 的和。

解：

这是从1开始的连续奇数列求和。末项为199。

项数 $n = (199 - 1) \div 2 + 1 = 100$。

等差数列求和公式：$S_n = \frac{(首项 + 末项) \times 项数}{2}$。

$S_{100} = \frac{(1 + 199) \times 100}{2} = \frac{200 \times 100}{2} = 10000$。

答：和为10000。

17. 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小自然数。

解：（中国剩余定理）

设这个数为 $N$。依题意： $$\begin{cases} N \equiv 2 \pmod{3} & (1)\\ N \equiv 3 \pmod{5} & (2)\\ N \equiv 2 \pmod{7} & (3) \end{cases}$$

由(1)和(3)可知，$N-2$ 能被3和7整除，即能被21整除。设 $N = 21k + 2$，$k$ 为自然数。

代入(2)：$21k + 2 \equiv 3 \pmod{5}$，即 $21k \equiv 1 \pmod{5}$。

因为 $21 \equiv 1 \pmod{5}$，所以 $1 \cdot k \equiv 1 \pmod{5}$，即 $k \equiv 1 \pmod{5}$。

取 $k=1$，则 $N = 21 \times 1 + 2 = 23$。

验证：23÷3=7...2，23÷5=4...3，23÷7=3...2。符合。

答：满足条件的最小自然数是23。

18. 如图，长方形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm，E、F分别是AB、CD的中点。求阴影部分面积。

图2：长方形ABCD

解：

长方形面积 $S_{ABCD} = 10 \times 6 = 60 \text{ cm}^2$。

E、F为中点，连接DE、BF。阴影部分通常为交叉部分。假设阴影为 $\triangle DEG$ 与 $\triangle BFG$ 之和（G为DE与BF交点）。

更简单模型：阴影为四边形EBFD（梯形？）。实际上，E、F中点，则四边形EBFD是平行四边形？

简便解法：阴影面积等于长方形面积减去两个空白三角形面积。$\triangle AED = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15$，$\triangle BCF = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 = 15$。所以阴影面积 $= 60 - 15 - 15 = 30 \text{ cm}^2$。

答：阴影部分面积为30平方厘米。

19. 一本书的页码从1开始，一共用了279个数字，这本书有多少页？

解：

页码数字计数：第1-9页，每页用1个数字，共用9个数字。

第10-99页，每页用2个数字，共90页，用 $90 \times 2 = 180$ 个数字。

至此已用 $9 + 180 = 189$ 个数字。

剩余数字：$279 - 189 = 90$ 个。

第100页起，每页用3个数字。剩余90个数字可排 $90 \div 3 = 30$ 页。

所以总页数：$99 + 30 = 129$ 页。

答：这本书有129页。

20. 甲、乙、丙三人进行百米赛跑，甲到终点时，乙离终点还有10米，丙离终点还有20米。问乙到终点时，丙离终点还有多少米？

解：

甲跑100米时，乙跑了90米，丙跑了80米。因此乙、丙的速度比为 $90 : 80 = 9 : 8$。

设乙的速度为 $9v$，丙的速度为 $8v$。

乙跑完剩余10米所需时间 $t = \frac{10}{9v}$。

在这段时间 $t$ 内，丙跑的距离为 $8v \times \frac{10}{9v} = \frac{80}{9} \approx 8.89$ 米。

此时，丙已经跑了 $80 + \frac{80}{9} = \frac{800}{9}$ 米？不对，初始时丙已在80米处，再跑 $\frac{80}{9}$ 米，共跑 $80 + \frac{80}{9} = \frac{800}{9} \approx 88.89$ 米。

所以丙离终点还有 $100 - \frac{800}{9} = \frac{100}{9} \approx 11.11$ 米。

更简洁算法：乙丙速度比9:8，乙跑10米的时间丙跑 $10 \times \frac{8}{9} = \frac{80}{9}$ 米。此时丙从80米处前进到 $80 + \frac{80}{9} = \frac{800}{9}$ 米，剩余 $100 - \frac{800}{9} = \frac{100}{9}$ 米。

答：丙离终点还有 $\frac{100}{9}$ 米（约11.11米）。

21. 将一根绳子对折3次后，从中间剪一刀，绳子会被剪成几段？

解：

对折一次，成2股；对折两次，成4股；对折三次，成8股。

从中间剪一刀，会同时剪断这8股绳子。

但绳子对折后，中间有连接点（折痕处）。剪断后，每一股绳子变成两段，共 $8 \times 2 = 16$ 段？

然而，在折痕连接处，相邻的两股是连在一起的，剪断后这些连接点会分开。

实际操作模型：对折n次后，绳子有 $2^n$ 层。从中间剪一刀，除了最两端的两头，中间的每一层都被剪断，并且层与层之间的折叠连接处也会被剪开。

公式：对折 $n$ 次后，从中剪一刀，段数 $= 2^n \times 1 + 1$？常用结论：对折 $n$ 次，剪一刀得 $2^n + 1$ 段？验证：对折1次（n=1），成2股，中间剪一刀，成3段。对折2次（n=2），成4股，中间剪一刀，成5段。对折3次（n=3），成8股，中间剪一刀，成9段。

所以对折3次后剪一刀，绳子被剪成 $2^3 + 1 = 9$ 段。

答：绳子会被剪成9段。

22. 已知 $a, b, c$ 是互不相同的质数，且满足 $a + b + c = 30$，求 $a, b, c$ 所有可能的组合。

解：

质数中除了2以外都是奇数。三个数之和为30（偶数）。

若三个数都是奇数，则奇数+奇数+奇数=奇数，与30（偶数）矛盾。

因此，三个质数中必须有一个是偶数，即必须包含质数2。

设 $a=2$，则 $b + c = 28$，且 $b, c$ 为互不相同的奇质数。

枚举28以内的奇质数：3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23。

寻找和为28的组合：$5+23=28$，$11+17=28$。

组合一：$(2, 5, 23)$，组合二：$(2, 11, 17)$。

验证：2,5,23均为质数，和=30；2,11,17均为质数，和=30。

答：可能的组合有 $(2, 5, 23)$ 和 $(2, 11, 17)$。

23. 答案：B

解答：逻辑推理。甲说“不是我”，乙说“是丁”，丙说“是乙”，丁说“不是我”。只有一人说了真话。假设甲真，则乙丙丁假：乙假→不是丁，丙假→不是乙，丁假→是丁，矛盾（丁假推出是丁，但乙假推出不是丁）。假设乙真，则是丁，那么甲假→是甲，矛盾（不能同时是甲和丁）。假设丙真，则是乙，那么甲假→是甲，矛盾。假设丁真，则不是丁，那么甲假→是甲，乙假→不是丁（与丁真一致），丙假→不是乙。成立，凶手是甲。

24. 答案：C

解答：设原价为1。先提价10%，价格变为 $1 \times (1+10\%) = 1.1$。再降价10%，价格变为 $1.1 \times (1-10\%) = 1.1 \times 0.9 = 0.99$。比原价低。

25. 答案：D

解答：数图形。正方形边长为4个小格。边长为1的正方形有 $4\times4=16$个；边长为2的正方形有 $3\times3=9$个；边长为3的正方形有 $2\times2=4$个；边长为4的正方形有 $1\times1=1$个。总数 $16+9+4+1=30$个。

图3：4x4网格

26. 答案：A

解答：比例尺 = 图上距离 : 实际距离。图上5厘米代表实际150千米。150千米 = 15,000,000厘米。比例尺 = $5 : 15,000,000 = 1 : 3,000,000$。

33. 一个水池有一个进水管和一个出水管。单开进水管6小时可将空池注满，单开出水管8小时可将满池水放完。若两管同时开，多少小时可将空池注满？

解：

将水池总水量看作单位“1”。

进水管效率：$\frac{1}{6}$（每小时进水占水池的几分之几）。

出水管效率：$\frac{1}{8}$（每小时出水占水池的几分之几）。

两管同开，每小时净进水量：$\frac{1}{6} - \frac{1}{8} = \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{1}{24}$。

注满空池所需时间：$1 \div \frac{1}{24} = 24$（小时）。

答：24小时可将空池注满。

34. 求 $\frac{1}{1\times2} + \frac{1}{2\times3} + \frac{1}{3\times4} + \cdots + \frac{1}{99\times100}$ 的和。

解：（裂项相消法）

注意到 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$。

原式 $= (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \cdots + (\frac{1}{99} - \frac{1}{100})$。

中间各项相互抵消，剩下 $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$。

答：和为 $\frac{99}{100}$。

35. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E$ 是 $AD$ 的中点，连接 $BE$ 并延长交 $AC$ 于 $F$。若 $S_{\triangle ABC} = 48 \text{ cm}^2$，求 $S_{\triangle AEF}$。

图4：三角形ABC

解：（利用等高模型或燕尾定理）

D是BC中点，所以 $S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} = 24 \text{ cm}^2$。

E是AD中点，所以 $S_{\triangle BDE} = S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABD} = 12 \text{ cm}^2$。

同理，$S_{\triangle CDE} = S_{\triangle ACE} = \frac{1}{2} S_{\triangle ADC} = 12 \text{ cm}^2$。

观察 $\triangle BCF$，D是BC中点，所以 $S_{\triangle BDF} = S_{\triangle CDF}$。

连接EF。设 $S_{\triangle AEF} = x$，$S_{\triangle CEF} = y$。则 $S_{\triangle ACE} = x + y = 12$。

在 $\triangle ABD$ 中，E是AD中点，且B、E、F共线，利用梅涅劳斯定理或面积比：$\frac{AF}{FC} = \frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle CEF}} = \frac{x}{y}$。

在 $\triangle ADC$ 中，E是AD中点，F在AC上，由燕尾或等高，可得 $\frac{AF}{FC} = \frac{S_{\triangle ABF}}{S_{\triangle CBF}} = \frac{12+x}{24+y}$？更简便：过D作BF的平行线交AC于G，则DG为中位线，可推出F为AC的三等分点？实际上，利用重心性质（E不是重心）。

经典结论：在三角形中，若D是BC中点，E是AD中点，则BE延长线交AC于F，F是AC的三等分点（靠近C）。即 $AF : FC = 1 : 2$。

所以 $\frac{x}{y} = \frac{AF}{FC} = \frac{1}{2}$，且 $x+y=12$，解得 $x=4$，$y=8$。

答：$S_{\triangle AEF} = 4 \text{ cm}^2$。

36. 一个四位数，其各位数字之和是18，且将它的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调，得到的新数比原数大2178。求原四位数。

解：

设原四位数为 $\overline{abcd}$，其中 $a,b,c,d$ 为0-9数字，$a \neq 0$。

则新数为 $\overline{dcba}$。

依题意： $$\begin{cases} a+b+c+d = 18 \\ \overline{dcba} - \overline{abcd} = 2178 \end{cases}$$

将数字展开：$\overline{abcd} = 1000a + 100b + 10c + d$， $\overline{dcba} = 1000d + 100c + 10b + a$。

相减：$(1000d+100c+10b+a) - (1000a+100b+10c+d) = 2178$。

化简：$999d + 90c - 90b - 999a = 2178$。

两边除以9：$111d + 10c - 10b - 111a = 242$。

即 $111(d - a) + 10(c - b) = 242$。 (1)

由于 $a,b,c,d$ 是数字，且 $d-a$ 和 $c-b$ 是整数。$111(d-a)$ 是111的倍数。

尝试 $d-a$ 的值。若 $d-a=2$，则 $111\times2=222$，$10(c-b)=242-222=20$，得 $c-b=2$。

若 $d-a=3$，则 $333$，$10(c-b)=242-333=-91$，$c-b=-9.1$ 非整数，舍去。

若 $d-a=1$，则 $111$，$10(c-b)=242-111=131$，$c-b=13.1$ 舍去。

所以唯一可能：$d-a=2$，$c-b=2$。

又 $a+b+c+d=18$，且 $d=a+2$，$c=b+2$。

代入：$a + b + (b+2) + (a+2) = 18$，得 $2a + 2b + 4 = 18$，即 $a+b=7$。

$a$ 是千位，至少为1。枚举：$a=1,b=6$，则 $c=8,d=3$，得数1683？但 $c=8$ 是数字，$d=3$，$a=1$，$d-a=2$ 符合。检验：原数 $\overline{abcd}=1683$，新数 $\overline{dcba}=3861$，差 $3861-1683=2178$，数字和 $1+6+8+3=18$。符合。

继续枚举：$a=2,b=5$，则 $c=7,d=4$，得数2574，新数4752，差 $4752-2574=2178$，数字和 $2+5+7+4=18$。也符合。

$a=3,b=4$，则 $c=6,d=5$，得数3465，新数5643，差 $5643-3465=2178$，和18。符合。

$a=4,b=3$，则 $c=5,d=6$，得数4356，新数6534，差 $6534-4356=2178$，和18。符合。

$a=5,b=2$，则 $c=4,d=7$，得数5247，新数7425，差 $7425-5247=2178$，和18。符合。

$a=6,b=1$，则 $c=3,d=8$，得数6138，新数8316，差 $8316-6138=2178$，和18。符合。

$a=7,b=0$，则 $c=2,d=9$，得数7029，新数9207，差 $9207-7029=2178$，和18。符合。

所以原四位数可能是：1683, 2574, 3465, 4356, 5247, 6138, 7029。

答：原四位数可能是上述7个数中的任何一个。

37. 证明：任意6个人中，必定有3个人互相认识，或者有3个人互不认识（认识是相互的）。

证明：（拉姆齐定理R(3,3)=6）

将这6个人视为6个点，两人若认识，则用红色线段连接；若不认识，则用蓝色线段连接。问题转化为：证明在6个点的完全图 $K_6$ 的边二染色中，必存在一个同色三角形（红色或蓝色）。

任取一点A。A与其他5点有5条边，由抽屉原理，这5条边中至少有3条同色（红色或蓝色）。

不妨设A与B、C、D的连线都是红色。

现在考虑B、C、D之间的连线。若B、C、D之间有一条红色边，比如BC是红色，则A、B、C三点相互红色连线，构成红色三角形（三人互相认识）。

若B、C、D之间没有红色边，即它们之间的连线全是蓝色，则B、C、D三点构成蓝色三角形（三人互不认识）。

因此，无论哪种情况，都必然存在一个同色三角形。证毕。

图5：6人关系图示例