五年级数学立体图形空间观念测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名和学号。

2. 请用黑色签字笔或铅笔答题。

3. 保持卷面整洁。

4. 本试卷涉及的立体图形图样已在题目中描述，请根据描述作答。

一、立体图形的认知与表征（共20分）

1. 请写出下面立体图形的名称，并分别说出它们各有几个面、几条棱、几个顶点。（6分）

图形A：像一个“魔方”，有6个完全相同的面，12条棱，8个顶点。这是（ ）。

图形B：上下两个面是圆形，侧面是一个曲面。这是（ ）。

图形C：底面是多边形，侧面是三角形，有一个公共的顶点。这是（ ）。

2. 请从正面、上面、左面观察下面的立体图形组合，将你看到的形状画在旁边的方格图中。（6分）

（描述：一个长方体上面放着一个圆柱。长方体长4格，宽2格，高2格；圆柱底面直径等于长方体宽度，高1格。）

3. 根据下面的三视图，判断它可能是什么立体图形，并画出一种可能的立体草图。（8分）

正视图：一个长方形，长边较长。

俯视图：一个圆形。

左视图：一个长方形，长边与正视图相同。

答：它可能是（ ）。

草图：

二、动手操作和模型建构（共20分）

4. 下图是一个正方体的展开图，请你在图中标出与涂色面相对的面。（4分）

（描述：展开图为“1-4-1”型，中间一行四个正方形，上下各一个。中间一行从左数第二个正方形被涂色。）

（请在展开图上直接标注）

5. 用橡皮泥或思维想象，完成以下任务：（8分）

（1）将一个长方体（长、宽、高均不相同）平行于长边切一刀，横截面可能是什么形状？

答：________________________________________

（2）将一个圆柱沿着它的高垂直切开，横截面是什么形状？如果斜着切呢？

答：垂直切：（ ）；斜着切：（ ）。

6. 小明用一些小正方体搭了一个几何体，从正面和上面看到的形状如下，搭这个几何体至少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个。（8分）

从正面看： □□□ （三列，从左到右高度分别为2，1，2）

从上面看： □□□ （三列均有）

三、立体图形度量理解（共20分）

7. 计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）（10分）

（1）一个长方体，长8，宽5，高4。

表面积：

体积：

（2）一个正方体，棱长6。

表面积：

体积：

8. 一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长10分米，宽6分米，高5分米。（10分）

（1）制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？

答：________________________________________

（2）这个鱼缸的容积是多少升？（1升 = 1立方分米）

答：________________________________________

四、空间转化与推理（共20分）

9. 将下图中的直角三角形（两条直角边分别为3cm和4cm）绕着一条长4cm的直角边旋转一周，会形成一个什么立体图形？并计算这个立体图形的体积。（6分）

答：形成（ ），体积是（ ）。

10. 一个棱长为10厘米的正方体容器，里面装有7厘米高的水。现在将一个不规则铁块完全浸没在水中，水面上升到9厘米。这个铁块的体积是多少立方厘米？（6分）

答：________________________________________

11. 推理判断：用一堆同样大小的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（ ）个。如果在大正方体的表面涂上颜色，那么三面涂色的小正方体有（ ）个，两面涂色的有（ ）个，一面涂色的有（ ）个，没有涂色的有（ ）个。（8分）

五、立体图形的应用意识（共20分）

12. 解决问题：（10分）

学校要粉刷一间教室（长方体形状）。教室长9米，宽6米，高3.5米，门窗和黑板的面积一共是24平方米。如果每平方米需要涂料0.5千克，粉刷这间教室的四面墙壁和天花板（地面不刷），一共需要多少千克涂料？

答：________________________________________

13. 综合应用：（10分）

王叔叔想用一块长2米、宽1.5米的长方形铁皮，制作一个高为5分米的无盖长方体水箱。

（1）请你设计一种裁剪方案（画出示意图，并标注尺寸），使得水箱的容积尽可能大。

（2）根据你的方案，计算出这个水箱的最大容积是多少升？

答：

六年级数学立体图形空间观念测试卷

（满分：100分 考试时间：90分钟）

姓名：__________ 学号：__________ 班级：__________

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

注意事项：

1. 答题前请先填写姓名和学号。

2. 请用黑色签字笔或铅笔答题。

3. 保持卷面整洁。

4. 本试卷涉及的立体图形图样已在题目中描述，请根据描述作答。涉及圆周率 $\pi$ 的计算，如无特殊说明，结果可保留 $\pi$。

一、立体图形的认知与表征（共20分）

1. 请将下列立体图形与它们的名称、展开图特征连线。（6分）

图形（描述：上下两个圆面，侧面展开是长方形） —— 圆柱 —— 展开图由两个圆和一个长方形组成

图形（描述：一个圆面，一个曲面，一个顶点） —— 圆锥 —— 展开图由一个扇形和一个圆组成

图形（描述：所有面都是相同的正多边形） —— 正四面体 —— 展开图由四个等边三角形组成

2. 一个立体图形从上面看是 $\square$ $\square$（两个正方形左右并排），从正面看是 $\square$（一个正方形在上方）$\square$（一个正方形在下方，与上方对齐）。搭这样的立体图形，最少需要（ ）个小正方体，最多需要（ ）个。请画出一种最多情况的立体图形草图。（8分）

草图：

3. 根据轴测图（一种立体草图）的绘制原理，判断下面哪句话是正确的？（6分）

A. 在轴测图中，互相平行的线段，画出来仍然平行。

B. 在轴测图中，线段的实际长度与画出来的长度成固定比例。

C. 正方体的轴测图，每个面看起来还是正方形。

D. 球体的轴测图看起来总是一个圆。

答：（ ）

二、动手操作和模型建构（共20分）

4. 下图是一个长方体（无盖）盒子的展开图（单位：厘米），请计算出这个盒子的长、宽、高各是多少厘米，并求出它的容积。（8分）

（描述：展开图中间是一个大长方形（底面），长边两侧各连着一个相同的小长方形（侧面），短边两侧各连着一个相同的细长长方形（正面和背面），其中一个细长长方形还连着一个用于粘合的边。）

（图中标注：底面长方形长12cm，宽8cm；侧面长方形高5cm；正面/背面长方形高5cm。）

长：（ ）cm 宽：（ ）cm 高：（ ）cm

容积：

5. 想象与操作：（12分）

（1）将一个圆锥从顶点沿底面直径竖直剖开，得到的截面是什么形状？

答：________________________________________

（2）用一张长方形的纸，如何卷能得到一个圆柱？怎样卷得到的圆柱侧面积最大？怎样卷得到的圆柱体积最大？（假设纸的长为a，宽为b）

答：

三、立体图形度量理解（共20分）

6. 计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：厘米）（12分）

（1）一个圆柱，底面半径3，高5。

表面积：

体积：

（2）一个圆锥，底面直径8，高6。

体积：

7. 把一个棱长6分米的正方体木料，加工成一个最大的圆柱。这个圆柱的体积是多少立方分米？削去的木料体积是多少？（8分）

答：圆柱体积：

削去体积：

四、空间转化与推理（共20分）

8. 图形转化：（10分）

（1）一个长方形（长10cm，宽4cm）以长为轴旋转一周，形成（ ），其体积是（ ）。

（2）同一个长方形以宽为轴旋转一周，形成（ ），其体积是（ ）。

（3）比较这两个体积，你发现了什么？

答：

9. 等积变形推理：一个圆柱形容器，底面半径是5厘米，里面盛有高10厘米的水。将一个完全浸没的圆锥形铁块取出后，水面下降到8厘米。这个圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？如果这个圆锥的底面积是30平方厘米，它的高是多少厘米？（10分）

答：铁块体积：

圆锥的高：

五、立体图形的应用意识（共20分）

10. 生活应用：（10分）

一个近似圆锥形的沙堆，底面周长是31.4米，高是2.4米。如果每立方米沙重1.5吨，用一辆载重8吨的汽车来运，至少需要运多少次才能运完？

答：________________________________________

11. 方案设计与优化：（10分）

某品牌牛奶有两种包装：

A. 长方体纸盒，长10cm，宽6cm，高18cm。

B. 圆柱形铁罐，底面直径8cm，高15cm。

（1）从节省材料（表面积）的角度看，哪种包装更优？（不考虑连接处损耗）

（2）从便于手握和运输（体积与形状）的角度，你会提出什么设计建议？

答：

参考答案及评分标准（五年级）

一、立体图形的认知与表征（共20分）

1. （6分）图形A：正方体（2分）。图形B：圆柱（2分）。图形C：棱锥/圆锥（答对一个即可，2分）。

（注：名称正确得分，特征描述在题干中已给出，不另计分）

2. （6分）画图略。评分标准：正面图：下面一个长方形（4×2），上面一个长方形（2×1），且居中对齐（2分）。上面图：下面一个长方形（4×2），上面一个圆形（直径2），且圆形在长方形中央（2分）。左面图：下面一个正方形（2×2），上面一个长方形（2×1），且居中对齐（2分）。形状大致正确即可。

3. （8分）答：圆柱（3分）。草图：应画出一个圆柱的立体示意图（5分）。

二、动手操作和模型建构（共20分）

4. （4分）应在展开图上标出与涂色面相对的面（中间一行左数第四个正方形）。标对得4分。

5. （8分）（1）答：长方形或正方形（答对得2分）。（2）答：垂直切：长方形（或正方形，如果底面直径等于高）（2分）；斜着切：椭圆形（或椭圆）（2分）。

6. （8分）至少需要（5）个（4分），最多需要（7）个（4分）。

三、立体图形度量理解（共20分）

7. （10分）（1）表面积：(8×5+8×4+5×4)×2 = (40+32+20)×2 = 92×2 = 184（平方厘米）（2.5分）；体积：8×5×4=160（立方厘米）（2.5分）。

（2）表面积：6×6×6=216（平方厘米）（2.5分）；体积：6×6×6=216（立方厘米）（2.5分）。

8. （10分）（1）10×6 + (10×5+6×5)×2 = 60 + (50+30)×2 = 60+160 = 220（平方分米）（5分）。

（2）10×6×5 = 300（立方分米）= 300（升）（5分）。

四、空间转化与推理（共20分）

9. （6分）形成（圆锥）（2分），体积是 $\frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = 12\pi$（立方厘米）（4分，算式和结果各2分）。

10. （6分）10×10×(9-7) = 100×2 = 200（立方厘米）（6分，算式4分，结果2分）。

11. （8分）至少需要（8）个（2分）；三面涂色（8）个（1.5分）；两面涂色（12）个（1.5分）；一面涂色（6）个（1.5分）；没有涂色（1）个（1.5分）。

五、立体图形的应用意识（共20分）

12. （10分）粉刷面积：9×6 + (9×3.5+6×3.5)×2 - 24 = 54 + (31.5+21)×2 - 24 = 54 + 105 - 24 = 135（平方米）（7分）。

需要涂料：135×0.5 = 67.5（千克）（3分）。

13. （10分）答案不唯一，合理即可。示例：（1）方案：从四个角各剪去一个边长为5分米的正方形，然后折起四边焊接成无盖水箱（画出示意图）（4分）。

（2）此时水箱内部长：20-5×2=10分米=1米，宽：15-5×2=5分米=0.5米，高：5分米=0.5米（2分）。容积：1×0.5×0.5 = 0.25（立方米）= 250（升）（4分）。其他优化方案论证合理也可酌情给分。

参考答案及评分标准（六年级）

一、立体图形的认知与表征（共20分）

1. （6分）连线正确每条2分。圆柱-上下两个圆面…-展开图由两个圆和一个长方形组成；圆锥-一个圆面…-展开图由一个扇形和一个圆组成；正四面体-所有面都是…-展开图由四个等边三角形组成。

2. （8分）最少需要（3）个（3分），最多需要（5）个（3分）。草图：画出符合三视图要求且使用5个正方体的立体图（2分）。

3. （6分）答：（A）（6分）。

二、动手操作和模型建构（共20分）

4. （8分）长：12cm（2分）；宽：8cm（2分）；高：5cm（2分）。容积：12×8×5=480（立方厘米）（2分）。

5. （12分）（1）答：等腰三角形（3分）。

（2）答：将长方形纸卷成筒状，两条对边重合粘贴即可得到圆柱（3分）。以长方形的长为圆柱高，宽为底面周长时，侧面积最大（等于长方形面积ab）（3分）。需要计算比较以长或宽为高时的体积，通常当长方形长宽比特定时，体积最大情况需具体计算，此处若答“需要计算比较”或给出一般性分析即可得（3分）。

三、立体图形度量理解（共20分）

6. （12分）（1）表面积：$2\times\pi\times3^2 + 2\times\pi\times3\times5 = 18\pi + 30\pi = 48\pi$（平方厘米）（3分）；体积：$\pi\times3^2\times5=45\pi$（立方厘米）（3分）。

（2）体积：$\frac{1}{3}\times\pi\times(8\div2)^2\times6 = \frac{1}{3}\times\pi\times16\times6 = 32\pi$（立方厘米）（6分）。

7. （8分）圆柱底面直径和高等于正方体棱长6分米（2分）。圆柱体积：$\pi\times(6\div2)^2\times6 = \pi\times9\times6 = 54\pi$（立方分米）（3分）。削去体积：$6^3 - 54\pi = 216 - 54\pi$（立方分米）（3分）。

四、空间转化与推理（共20分）

8. （10分）（1）形成（圆柱）（1分），体积是 $\pi\times4^2\times10 = 160\pi$（立方厘米）（2分）。

（2）形成（圆柱）（1分），体积是 $\pi\times10^2\times4 = 400\pi$（立方厘米）（2分）。

（3）答：以宽为轴旋转得到的圆柱体积更大（2分）。因为旋转半径越大，体积越大（2分）。

9. （10分）铁块体积（即下降水柱体积）：$\pi\times5^2\times(10-8) = 25\pi\times2 = 50\pi$（立方厘米）（5分）。圆锥的高：$(50\pi \times 3) \div 30 = 150\pi \div 30 = 5\pi$（厘米）（5分）。

五、立体图形的应用意识（共20分）

10. （10分）底面半径：31.4÷3.14÷2=5（米）（2分）。沙堆体积：$\frac{1}{3}\times\pi\times5^2\times2.4 = \frac{1}{3}\times\pi\times25\times2.4 = 20\pi \approx 62.8$（立方米）（$\pi$取3.14）（4分）。沙重：62.8×1.5=94.2（吨）（2分）。运输次数：94.2÷8≈11.775，至少需要运（12）次（2分）。

11. （10分）（1）计算：A包装表面积：(10×6+10×18+6×18)×2 = (60+180+108)×2=348×2=696（平方厘米）（2分）。B包装表面积：$2\times\pi\times(8\div2)^2 + \pi\times8\times15 = 32\pi + 120\pi = 152\pi \approx 477.28$