湖北省初中毕业生学业水平考试（中考）数学试卷

完成时间：_______ 分钟 得分：_______

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1. 实数 $-3$ 的相反数是（______）

A. $3$    B. $-3$    C. $\frac{1}{3}$    D. $-\frac{1}{3}$

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（______）

A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 矩形

3. 2024年湖北省粮食总产量约为 $5.5 \times 10^{10}$ 斤，将 $5.5 \times 10^{10}$ 用科学记数法表示为（______）

A. $5.5 \times 10^9$    B. $55 \times 10^9$    C. $5.5 \times 10^{10}$    D. $0.55 \times 10^{11}$

4. 下列计算正确的是（______）

A. $a^2 + a^3 = a^5$    B. $a^2 \cdot a^3 = a^6$    C. $(a^2)^3 = a^5$    D. $a^8 \div a^2 = a^6$

5. 不等式组 $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 2 \le 5 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是（______）

A. （描述：数轴上表示 $x>2$ 且 $x \le 3$ 的区域）    B. （描述：数轴上表示 $x<2$ 或 $x \ge 3$ 的区域）

C. （描述：数轴上表示 $x>2$ 且 $x \ge 3$ 的区域）    D. （描述：数轴上表示 $x<2$ 且 $x \le 3$ 的区域）

6. 已知一组数据：$2$， $4$， $x$， $6$， $8$ 的平均数为 $5$，则这组数据的众数是（______）

A. $4$    B. $6$    C. $8$    D. $2$ 和 $8$

7. 如图（示意），点 $A$， $B$， $C$ 在 $\odot O$ 上，若 $\angle AOB = 100^\circ$，则 $\angle ACB$ 的度数为（______）

A. $40^\circ$    B. $50^\circ$    C. $80^\circ$    D. $100^\circ$

8. 《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 $5$ 钱，还差 $45$ 钱；若每人出 $7$ 钱，还差 $3$ 钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，羊价为 $y$ 钱，根据题意可列方程组为（______）

A. $\begin{cases} y = 5x + 45 \\ y = 7x + 3 \end{cases}$    B. $\begin{cases} y = 5x - 45 \\ y = 7x - 3 \end{cases}$    C. $\begin{cases} y = 5x + 45 \\ y = 7x - 3 \end{cases}$    D. $\begin{cases} y = 5x - 45 \\ y = 7x + 3 \end{cases}$

9. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ($k \neq 0$) 的图象经过点 $A(2, -3)$，则下列各点中也在该函数图象上的是（______）

A. $(-2, -3)$    B. $(3, 2)$    C. $(6, 1)$    D. $(-3, -2)$

10. 已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ ($a<0$) 经过点 $(1, 0)$，且满足 $4a + 2b + c > 0$，则下列结论正确的是（______）

A. 抛物线的对称轴在 $y$ 轴左侧    B. 当 $x > 1$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小

C. 抛物线与 $x$ 轴有两个交点    D. 方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根之和为负数

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

三、解答题（共8小题，共72分）

17. （本题满分8分）计算：$(-1)^{2024} + |\sqrt{3} - 2| - (\frac{1}{2})^{-2} + 2\sin60^\circ$。

解：

________________________________________________________________

________________________________________________________________

18. （本题满分8分）如图（示意），在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$， $F$ 分别在边 $AD$， $BC$ 上，且 $AE = CF$。求证：$BE = DF$。

证明：

________________________________________________________________

________________________________________________________________

________________________________________________________________

19. （本题满分8分）为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动。现从七、八年级各随机抽取 $10$ 名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用 $x$ 表示，共分成四组：A. $80 \le x < 85$；B. $85 \le x < 90$；C. $90 \le x < 95$；D. $95 \le x \le 100$）。下面给出了部分信息：

七年级 $10$ 名学生的成绩是：$81$， $85$， $86$， $88$， $89$， $91$， $92$， $93$， $94$， $95$。

八年级 $10$ 名学生的成绩在 C 组中的数据是：$90$， $91$， $92$， $93$。

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：$a =$ ______， $b =$ ______， $m =$ ______；

（2）根据以上数据，你认为哪个年级的学生对“经典诵读”的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）若该校七年级有 $400$ 人，八年级有 $500$ 人参加了此次比赛，请估计两个年级成绩不低于 $90$ 分的学生总人数。

解：（1）

________________________________________________________________

（2）

________________________________________________________________

（3）

________________________________________________________________

20. （本题满分8分）如图（示意），在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b$ ($k \neq 0$) 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ ($m \neq 0$) 的图象相交于 $A(1, 2)$， $B(-2, n)$ 两点。

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求 $\triangle AOB$ 的面积；

（3）直接写出不等式 $kx + b > \frac{m}{x}$ 的解集。

解：（1）

________________________________________________________________

（2）

________________________________________________________________

（3）

________________________________________________________________

21. （本题满分8分）如图（示意），$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，$C$ 是 $\odot O$ 上一点，$D$ 是 $\widehat{AC}$ 的中点，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $AB$ 的延长线于点 $E$，连接 $AD$， $CD$。

（1）求证：$DE \perp AE$；

（2）若 $\tan \angle CAD = \frac{1}{2}$， $OA = 5$，求线段 $BE$ 的长。

（1）证明：

________________________________________________________________

（2）解：

________________________________________________________________

22. （本题满分10分）某超市销售一种进价为 $20$ 元/千克的农产品，当售价为 $30$ 元/千克时，每天可售出 $200$ 千克。经市场调查发现：这种农产品的售价每千克每上涨 $1$ 元，每天的销售量就减少 $10$ 千克。设这种农产品每千克的售价上涨 $x$ 元（$x$ 为正整数），超市每天销售这种农产品的利润为 $y$ 元。

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并注明 $x$ 的取值范围；

（2）每千克售价定为多少元时，超市每天销售这种农产品可获得最大利润？最大利润是多少元？

（3）若超市每天销售这种农产品的利润不低于 $2240$ 元，请直接写出售价 $x$ 的取值范围。

解：（1）

________________________________________________________________

（2）

________________________________________________________________

（3）

________________________________________________________________

23. （本题满分10分）【问题背景】如图1（示意），在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^\circ$，$AB = AC$，点 $D$， $E$ 分别在边 $AB$， $AC$ 上，且 $AD = AE$，连接 $BE$， $CD$，点 $M$， $N$， $P$ 分别为 $BE$， $CD$， $BC$ 的中点。试判断 $\triangle PMN$ 的形状，并说明理由。

【深入探究】将图1中的 $\triangle ADE$ 绕点 $A$ 逆时针旋转到图2（示意）的位置，连接 $BE$， $CD$，点 $M$， $N$， $P$ 分别为 $BE$， $CD$， $BC$ 的中点。$\triangle PMN$ 的形状是否发生改变？请说明理由。

【拓展应用】如图3（示意），在【问题背景】的条件下，若 $AB = 4$， $AD = 1$，将 $\triangle ADE$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，连接 $BE$， $CD$，点 $M$， $N$， $P$ 分别为 $BE$， $CD$， $BC$ 的中点，直接写出 $\triangle PMN$ 面积的最大值。

解：【问题背景】

________________________________________________________________

【深入探究】

________________________________________________________________

【拓展应用】

________________________________________________________________

24. （本题满分12分）如图（示意），抛物线 $y = ax^2 + bx + 3$ ($a \neq 0$) 与 $x$ 轴交于 $A(-1, 0)$， $B(3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 是抛物线上位于直线 $BC$ 上方的一动点，过点 $P$ 作 $PD \parallel y$ 轴交 $BC$ 于点 $D$，求线段 $PD$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，将抛物线沿射线 $CB$ 方向平移 $\sqrt{2}$ 个单位长度得到新抛物线 $y'$，新抛物线 $y'$ 与原抛物线相交于点 $E$，点 $F$ 为新抛物线 $y'$ 对称轴上一点，在平面内是否存在点 $G$，使得以点 $C$， $E$， $F$， $G$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）

________________________________________________________________

（2）

________________________________________________________________

（3）

________________________________________________________________